海涅-博雷尔定理在$L^1$空间中是否成立？

嘿，这个问题问到点子上了——海涅-博雷尔定理在有限维欧氏空间$\mathbb{R}^{n$里是基石性的结论，但放到无穷维的$L}1([0,1])$空间（带勒贝格测度）里，它的核心等价性（紧集⇨有界闭集，反之亦然）就失效了。下面我给你拆解原因，并且构造出你想要的那个关键序列：

核心背景回顾 #

在$\mathbb{R}^{n$中，海涅-博雷尔定理告诉我们：一个子集是紧集，当且仅当它是有界且闭的。但这个结论只在有限维赋范空间里成立，无穷维Banach空间（比如$L}1([0,1])$）里，有界闭集不一定是紧集——我们只需要找到一个有界闭集，但它不是紧集的例子就行，而构造一个“没有收敛子列的有界序列”就能证明这一点。

构造满足要求的序列 #

我们可以构造一列支撑在互不相交区间上的函数，具体步骤如下：

1. 把区间$[0,1]$拆分成无穷多个互不相交的子区间：$I_n = \left[\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^k}, \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^{k}\right]$，每个$I_n$的长度是$\frac{1}{2}n}$（验证一下：$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}=1$，刚好覆盖$[0,1]$）。
2. 对每个正整数$n$，定义函数$f_n(x)$：
   $$
   f_n(x) =
   \begin{cases}
   2^n, & x \in I_n \
   0, & x \notin I_n
   \end{cases}
   $$

现在验证这个序列的性质：

• 范数为1：$|f_n|1 = \int{[0,1]} |f_n(x)| dx = 2^n \cdot \text{length}(I_n) = 2^n \cdot \frac{1}{2^n} = 1$，完全符合要求。
• 两两距离大于常数：对于任意$n \neq m$，$I_n$和$I_m$互不相交，所以$f_n$和$f_m$的支撑区间没有重叠，因此：
  $$
  |f_n - f_m|1 = \int{[0,1]} |f_n(x) - f_m(x)| dx = \int_{I_n} 2^n dx + \int_{I_m} 2^m dx = 1 + 1 = 2
  $$
  这里的常数$c$可以取1，显然$|f_n - f_m|_1 > 1$对所有$n \neq m$成立。

为什么这说明海涅-博雷尔定理不成立 #

这个序列${f_n}$包含在$L^1([0,1])$的单位球里——单位球是有界闭集（Banach空间的单位球天生是闭集，且范数都≤1，显然有界）。但这个序列没有收敛子列：因为任意两个不同元素的距离都大于2，不可能存在Cauchy子列，自然也就没有收敛子列。

而紧集的定义要求：集合中的每个序列都有收敛到集合内元素的子列。这里的单位球是有界闭集，但不是紧集，直接打破了海涅-博雷尔定理的等价性。

所以结论很明确：海涅-博雷尔定理在$L^1([0,1])$空间中不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Smith