若两个系数矩阵行化简后相同，其列空间是否相同？我的理解正确吗？

首先要明确一个关键知识点：行变换（行化简操作）不会保持矩阵的列空间，两个行等价（即能通过行化简得到相同矩阵）的矩阵，它们的列空间不一定相同。

你的错误在于误以为行等价的矩阵“仅是彼此的缩放版本”，但行变换不仅包含行的缩放，还包括行的加减操作，这些操作会改变列向量之间的“位置关系”，进而导致列生成的空间发生变化。

举个简单的例子就能说明问题：

• 矩阵A：

  [[1, 2],
   [0, 0]]
  

• 矩阵B：

  [[1, 2],
   [1, 2]]
  

对矩阵B执行行变换（第二行减去第一行），就能得到矩阵A，所以它们行化简后的结果相同，属于行等价矩阵。但：

• A的列空间是由向量[1,0]和[2,0]生成的，也就是所有形如t*[1,0]（t为实数）的向量集合，是x轴所在的子空间；
• B的列空间是由向量[1,1]和[2,2]生成的，也就是所有形如s*[1,1]（s为实数）的向量集合，是直线y=x所在的子空间。

这两个子空间显然完全不同，直接证明了原陈述不成立。

不过要补充一点：行等价的矩阵确实会保持列的线性相关性（比如哪些列是线性无关的，哪些列能被其他列线性表示），同时它们的行空间是相同的，但列空间并没有这个性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user283028