向量函数框架下平面曲率计算与平面曲线副法向量证明问询

嘿，我来帮你理清这两个关于平面曲线的向量函数问题——其实核心是把通用的曲率、副法向量定义和平面曲线的特性结合起来就行，不用纠结专门的平面参数化~

1. 平面曲线的曲率计算（解决你的参数化困惑） #

首先，咱们回忆通用的曲率公式：对于任意参数化的向量函数 r(t)，曲率 κ(t) 的定义是：

κ(t) = |r’(t) × r''(t)| / |r’(t)|³

你不用专门找“平面专属”的参数化，只要这个 r(t) 描述的是平面曲线（也就是所有点都落在同一个平面上），直接用这个通用公式就能计算曲率。

举个具体例子帮你理解：假设曲线在xy平面上，参数化为 r(t) = (x(t), y(t), 0)，那：

• 一阶导数 r’(t) = (x’(t), y’(t), 0)
• 二阶导数 r''(t) = (x''(t), y''(t), 0)

它们的叉积 r’(t) × r''(t) 计算出来是 (0, 0, x’(t)y''(t) - x''(t)y’(t))，这个向量的模就是 |x’(t)y''(t) - x''(t)y’(t)|；而 |r’(t)| 是 √(x’(t)² + y’(t)²)。

代入曲率公式后，平面曲线的曲率就简化为：

κ(t) = |x’y'' - x''y’| / (x’² + y’²)^(3/2)

本质上还是通用公式的特例，只是利用了平面曲线的导数都在同一平面内的特性，让计算更简洁而已。

2. 证明平面曲线的副法向量为常数 #

副法向量的定义是 B(t) = T(t) × N(t)，其中 T(t) 是单位切向量，N(t) 是单位法向量。

对于平面曲线来说：

• T(t) 是曲线切线方向的单位向量，必然在曲线所在平面内；
• N(t) 是曲线的主法向量，方向指向曲线凹侧，同样在曲线所在平面内。

两个同一平面内的非平行向量叉乘，得到的向量方向必然垂直于这个平面，而且这个平面是固定的（因为是平面曲线），所以叉乘的方向不会随参数t变化。再加上 B(t) 是单位向量（模长始终为1），所以整个 B(t) 就是一个常数向量。

用公式推导验证的话，还是拿xy平面的曲线举例：
B(t) = (r’(t) × r''(t)) / |r’(t) × r''(t)|，代入之前的叉积结果，分子是 (0,0,x’y''-x''y’)，分母是这个向量的模 |x’y''-x''y’|，所以最终 B(t) 要么是 (0,0,1)，要么是 (0,0,-1)——不管t取什么值，这个向量都不会变，完全符合“常数”的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Amin