环的维数与超越次数计算正确性验证请求

问题背景 #

给定理想$(x^2 + y^3) \subset k[x, y]$，令$A = k[x,y]/(x^2 + y^3)$，目标是计算$\dim A$。

你的推导过程 #

你给出的推导思路是：

1. 将$A$视为$k[t]$的子环，因此$A$是整环，进而理想$(x^2 + y^3)$是素理想；
2. $A$的分式域为$k(t)$（因$t^3/t2 = t$），故$\text{Frac}(A)$在$k$上的超越次数为1；
3. 因$A$不可约（对应素理想），所以$\dim A = \dim_k \text{Spec}(A) = \text{tr.deg}_k k(t) = 1$。

验证结论 #

你的推导完全正确！我再补充几个关键细节帮你把逻辑链补得更完整：

• 关于$A$嵌入$k[t]$的具体方式：其实是取$x = t^3$，$y = -t^{2$，代入后$x}2 + y^3 = t^6 + (-t²⁾3 = 0$，这个映射是良定义的，且$A$同构于$k[t^2, t^3]$——这确实是$k[t]$的子整环，所以$A$是整环，而商环是整环当且仅当对应的理想是素理想，这一步的推导没问题。
• 分式域的结论：$k[t^2, t^3]$的分式域确实是$k(t)$，因为$t = t^3 / t^2$属于分式域，所以它在$k$上的超越次数是1，这点你抓得很准。
• 维数的对应：对于诺特整环（$A$是诺特环$k[x,y]$的商，所以$A$也是诺特整环），Krull维数等于其分式域在基域上的超越次数，这是代数几何维数理论的核心结论之一，你的推导完美利用了这个点，逻辑闭环非常完整。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Drew Brady