无需真值表证明[(p∨q)∧(p→s)∧(q→t)]→(s∨t)及所用方法

嘿，我来帮你搞定这个逻辑证明的问题～其实你之前把条件语句转成等价式的思路完全正确，只是可能没把这些等价式串起来用。下面我给你两种不用真值表的证明方法，都是逻辑证明里常用的技巧：

方法一：分情况直接证明 #

直接证明的核心是：假设前件为真，然后推导出结论必然为真。

1. 首先，我们假设前件[(p ∨ q) ∧ (p → s) ∧ (q → t)]为真。根据合取的定义，这意味着里面的每一个子式都为真：
   • p ∨ q为真
   • p → s为真（等价于¬p ∨ s）
   • q → t为真（等价于¬q ∨ t）
2. 因为p ∨ q为真，所以只有两种可能的情况：p为真，或者q为真（两种情况可能同时成立，但不影响推导）：
   • 情况1：p为真
     因为p → s为真，当p为真时，根据条件语句的定义，s必须为真。那么s ∨ t自然为真（只要其中一个析取项为真，整个析取式就为真）。
   • 情况2：q为真
     同理，q → t为真，当q为真时，t必须为真，所以s ∨ t也为真。
3. 不管p和q哪种情况成立，结论s ∨ t都为真。所以当前件为真时结论必为真，整个蕴含式得证。

方法二：反证法 #

反证法的思路是：假设结论的否定为真，然后推导出前件为假，从而证明原蕴含式成立（因为蕴含式只有在前件真且结论假时才为假，只要这种情况不可能发生，式子就是重言式）。

1. 假设结论的否定¬(s ∨ t)为真。根据德摩根律，这等价于¬s ∧ ¬t，也就是s和t都为假。
2. 看前件里的p → s（等价于¬p ∨ s），因为我们已经知道¬s为真，根据析取三段论（如果A ∨ B为真且¬B为真，那么A为真），可以推出¬p为真（也就是p为假）。
3. 同样地，前件里的q → t（等价于¬q ∨ t），结合¬t为真，用析取三段论可以推出¬q为真（也就是q为假）。
4. 现在我们得到¬p和¬q都为真，根据德摩根律，这等价于¬(p ∨ q)。但前件里的p ∨ q必须为真才能让整个前件为真，现在¬(p ∨ q)为真，说明p ∨ q为假，那么整个前件[(p ∨ q) ∧ ...]就为假。
5. 这就意味着：如果假设结论为假，那么前件必然为假，不存在前件真且结论假的情况，所以原蕴含式是重言式，得证。

其实你一开始转等价式的方向是对的，比如把p→s转成¬p∨s，在反证法里就用到了这个变换～两种方法都能搞定，选哪种看你觉得哪个更直观就行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shiko