满同态映射的逆映射是否为同态的正确性验证

嘿，这个问题是群论里很容易踩坑的点，我来给你讲明白：不能断言逆映射$\phi^{-1}:\overline{G}\to G$是同态映射，甚至很多时候这个“逆映射”连良定义的函数都算不上。

核心原因：满同态≠双射 #

要让一个映射的逆映射作为函数存在，原映射必须是双射（同时满足单射和满射）。但题目里只给出$\phi$是满同态，并没有保证它是单射——而单射的等价条件是$\phi$的核$\ker\phi = {e_G}$（仅含$G$的单位元）。如果$\ker\phi$是非平凡的（含有更多元素），那么$\overline{G}$中每个元素的原像都是$G$中的一个等价类（而非单个元素），这时候你没法给$\overline{G}$的每个元素指定唯一的原像，自然不存在严格意义上的逆函数。

举个直观的例子 #

取$G = \mathbb{Z}$（整数加法群），$\overline{G} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（模2加法群），定义满同态$\phi(n) = n \mod 2$：

• $\overline{0}$的原像是所有偶数，$\overline{1}$的原像是所有奇数。
  这时候你根本没法给$\overline{0}$和$\overline{1}$各指定一个唯一的原像，所以$\phi^{-1}$连函数都不是，更别说同态了。

退一步：就算选代表元，也未必是同态 #

假设我们强行给$\overline{G}$的每个元素选一个原像（比如选等价类的代表元），构造一个“伪逆”映射，这个映射也不一定是同态。比如：
取$G = \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$（加法群），$\overline{G} = \mathbb{Z}$，定义满同态$\phi(a,b) = a+b$：

• 如果我们选$\phi^{-1}(n) = (n, 0)$，那$\phi^{-1}(m+n) = (m+n, 0)$，而$\phi^{-1}(m) + \phi^{-1}(n) = (m,0)+(n,0)=(m+n,0)$，这时候看起来满足同态；
• 但如果我们选$\phi^{-1}(n) = (n, 1)$，那$\phi^{-1}(m+n) = (m+n, 1)$，而$\phi^{-1}(m) + \phi^{-1}(n) = (m,1)+(n,1)=(m+n,2)$，显然两者不相等，不满足同态的定义。

唯一成立的情况 #

只有当$\phi$是同构（即满同态+单射）时，逆映射$\phi^{-1}$才是同态（而且也是同构）。这时候$\phi$是双射，每个$\overline{x}\in\overline{G}$有唯一的原像$x\in G$，并且可以验证$\phi^{{-1}(\overline{x}\overline{y})=\phi}{-1}(\overline{x})\phi^{-1}(\overline{y})$成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RFZ