基于Durrett 5.1.3的条件期望切比雪夫不等式证明疑问

咱们来聊聊基于Durrett 5.1.3内容的条件期望形式切比雪夫不等式，先明确要证的核心结论：若$a > 0$，则
$$\mathbb{P}(\lvert X \rvert \geq a | \mathcal{F}) \leq a^{{-2}\mathbb{E}(X}2 | \mathcal{F})$$

关于可积性的关键前提 #

首先得强调：这个不等式要具备意义，必须先保证$X^2 \in L^1(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$。理由如下：

• 已知$X \in L^1$（即$X$可积），只能保证左边的条件概率$\mathbb{P}(\lvert X \rvert \geq a | \mathcal{F})$是良定义的；
• 但$L^{1$空间并不包含于$L}2$空间——存在不少可积但平方不可积的随机变量（比如某些重尾分布下的变量），仅靠$X \in L^{1$无法推出$X}2$的可积性；
• 如果$X^{2$不可积，右边的$\mathbb{E}(X}2 | \mathcal{F})$就没有定义，不等式也就无从谈起。

因此，必须直接假设$X^2 \in L^1(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$，才能让不等式两边的表达式都合法。

完整证明步骤 #

利用条件期望的基本性质，结合普通切比雪夫不等式的思路，就能完成证明：

• 第一步：构造指示函数的不等式。对任意$a>0$，显然有：
  $$\mathbf{1}_{{\lvert X \rvert \geq a}} \leq \frac{X^2}{a2}$$
  这个式子的合理性很直观：当$\lvert X \rvert \geq a$时，左边为1，右边$\frac{X^2}{a2} \geq 1$；当$\lvert X \rvert < a$时，左边为0，右边为正数，不等式自然成立。
• 第二步：对两边取条件期望。根据条件期望的单调性（若随机变量$Y \leq Z$，则$\mathbb{E}(Y|\mathcal{F}) \leq \mathbb{E}(Z|\mathcal{F})$几乎必然），可得：
  $$\mathbb{E}(\mathbf{1}_{{\lvert X \rvert \geq a}} | \mathcal{F}) \leq \mathbb{E}\left( \frac{X^2}{a2} | \mathcal{F} \right)$$
• 第三步：化简等式两边。左边$\mathbb{E}(\mathbf{1}_{{\lvert X \rvert \geq a}} | \mathcal{F})$就是$\mathbb{P}(\lvert X \rvert \geq a | \mathcal{F})$；右边利用条件期望的线性性质，可将常数$a^{{-2}$提出，得到$a}{-2}\mathbb{E}(X^2 | \mathcal{F})$。

这样就推导出了目标不等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者dEmigOd