计算可变集合中唯一大理石有放回抽取的平均占比问题

咱们可以用指示变量法来解决这个问题，这是计算这类期望问题的经典思路——不管变量间是否独立都能用，特别实用。

步骤1：定义指示变量 #

对于袋子里的第i个大理石（i从1到n），我们定义一个简单变量：

• X_i = 1：如果这个大理石在n次有放回抽取中至少被抽到一次
• X_i = 0：如果这个大理石在n次抽取中一次都没被抽到

那么，最终抽到的唯一大理石总数就是所有X_i的和：X = X₁ + X₂ + ... + Xₙ。我们要求的“平均抽取到的唯一大理石占比”，就是这个总数的期望除以n，也就是E[X]/n。

步骤2：计算单个指示变量的期望 #

先算单个X_i的期望E[X_i]，根据期望的定义，它其实就是这个大理石至少被抽到一次的概率。

我们可以先算对立事件的概率：一次都没抽到这个大理石的概率。每次抽取时，抽不到它的概率是(n-1)/n（总共有n个大理石，有放回抽取，每次独立）。那么n次都抽不到它的概率就是：

[(n-1)/n]^n

所以，这个大理石至少被抽到一次的概率（也就是E[X_i]）就是：

E[X_i] = 1 - [(n-1)/n]^n

步骤3：利用线性期望计算总期望 #

这里有个关键知识点：线性期望不要求变量之间独立，所以不管这些大理石的抽取情况有没有关联，我们都可以直接把每个X_i的期望加起来得到E[X]：

E[X] = E[X₁] + E[X₂] + ... + E[Xₙ] = n * E[X_i] = n * [1 - ((n-1)/n)^n]

步骤4：计算平均占比 #

最后，把总期望除以n，就得到了无限次试验下的平均唯一大理石占比：

E[X]/n = 1 - ((n-1)/n)^n

额外补充：当n很大时的极限情况 #

如果大理石数量n趋向于无穷大，我们可以利用极限公式lim(n→∞) (1 - 1/n)^n = 1/e（e是自然常数，约等于2.71828），这时候平均占比的极限就是：

1 - 1/e ≈ 0.6321

也就是说，当大理石数量非常多的时候，你大概能抽到约63%的唯一大理石。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zachary Ip