求证度量空间全有界当且仅当其完备化紧：正向证明求助

反向证明：完备化空间紧 ⇒ 原空间全有界 #

首先得夸夸你的反向证明，逻辑完全在线！你写的推导过程：

设$(Y,d')$是$(X,d)$的紧完备化空间。由于完备化空间的性质，$Y$是紧的，因此$Y$完备且全有界。因为$X$在$Y$中稠密，显然$X$是$Y$的子集。全有界集的子集也是全有界的，因此$X$全有界。

没错，紧度量空间的核心性质之一就是紧⇨完备且全有界，而稠密子集作为全有界空间的子集，必然也继承了全有界性，这个推导没有任何漏洞。

正向证明：原空间全有界 ⇒ 完备化空间紧 #

你说正向证明遇到了困难，其实可以从度量空间紧性的等价条件入手——度量空间紧当且仅当它完备且全有界。而$Y$作为$X$的完备化，本身已经是完备的了，所以我们只需要证明$Y$是全有界的就行，步骤拆解如下：

• 任取$\epsilon > 0$，因为$X$全有界，所以存在$X$中的有限$\epsilon/2$-网：也就是有限个点$x_1,x_2,\dots,x_n \in X$，使得$X$被这些点的$\epsilon/2$-开球覆盖，即$X \subset \bigcup_{i=1}^n B_d(x_i, \epsilon/2)$（这里$B_d$是原空间$X$中的开球）。
• 由于$Y$是$X$的完备化，距离函数$d'$是$d$的延拓，所以每个$x_i$在$Y$中的$\epsilon$-开球$B_{d'}(x_i, \epsilon)$必然包含对应的$X$中的$\epsilon/2$-开球$B_d(x_i, \epsilon/2)$。
• 接下来验证这些$Y$中的开球能覆盖整个$Y$：任取$y \in Y$，因为$X$在$Y$中稠密，所以存在$x \in X$满足$d'(y,x) < \epsilon/2$。而$x$属于某个$B_d(x_i, \epsilon/2)$，也就是$d(x,x_i) < \epsilon/2$，根据$d'$的延拓性，$d'(x,x_i) = d(x,x_i) < \epsilon/2$。
• 用三角不等式计算：$d'(y,x_i) \leq d'(y,x) + d'(x,x_i) < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$，所以$y$必然落在$B_{d'}(x_i, \epsilon)$里。
• 这就说明${x_1,x_2,\dots,x_n}$是$Y$中的有限$\epsilon$-网，而$\epsilon$是任意取的，所以$Y$全有界。
• 结合$Y$本身的完备性，就能得出$Y$是紧度量空间了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Samad Ahmed