关于自由阿贝尔群商群基数的疑问：为何|G/B|<|G/A|成立？

这问题其实可以通过自由阿贝尔群的核心性质和群同构定理来拆解，我一步步给你理清楚：

关键前提回顾 #

首先，秩为m的自由阿贝尔群G，它的秩m子群（也就是和G同秩的子群）有一个很重要的结构：

• 存在G的一组基${e_1, e_2, ..., e_m}$，以及正整数$d_1 | d_2 | ... | d_m$，使得这个子群恰好由$d_1e_1, d_2e_2, ..., d_m e_m$生成。
• 此时商群$G/\text{子群}$的阶等于$d_1d_2...d_m$，因为这个商群同构于$\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z} \times ... \times \mathbb{Z}/d_m\mathbb{Z}$，阶数就是这些整数的乘积。

分析A⊂B的情况 #

已知$A \subset B$且$A \neq B$，两者都是G的秩m子群：

1. 先看商群$B/A$：

   • 因为B是秩m的自由阿贝尔群，A是B的秩m子群，所以$B/A$是有限生成阿贝尔群，且秩为0（有限生成阿贝尔群的秩满足$\text{rank}(B) = \text{rank}(A) + \text{rank}(B/A)$），因此$B/A$是有限群。
   • 又因为$A \neq B$，所以$B/A$是非平凡的，即$|B/A| \geq 2$。

2. 应用群的第三同构定理：
   对于群G和子链$A \subset B \leq G$，有同构关系：
   $$(G/A)/(B/A) \cong G/B$$
   两边取阶数（因为都是有限群，阶数存在），可得：
   $$|G/A| = |G/B| \times |B/A|$$

3. 推导不等式：
   因为$|B/A| \geq 2$，所以：
   $$|G/B| = \frac{|G/A|}{|B/A|} < |G/A|$$

这样就直接得到了要证明的不等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者GilbertGreen