相依事件E₁、E₂下条件概率P(A|E₁,E₂)的计算方法问询

当然有可行的计算方法，完全不需要依赖E₁和E₂相互独立的假设——咱们从概率论的基础公式出发拆解这个问题就好。

核心计算方法 #

我们可以从两个经典的概率公式入手：

1. 条件概率基本定义
   直接展开目标概率：
   P(A|E₁,E₂) = P(A,E₁,E₂) / P(E₁,E₂)
   这里的核心是获取A、E₁、E₂的联合概率P(A,E₁,E₂)，以及E₁和E₂的联合概率P(E₁,E₂)。

2. 贝叶斯定理变形
   如果更习惯用先验概率和似然来表达，也可以写成：
   P(A|E₁,E₂) = P(E₁,E₂|A) * P(A) / P(E₁,E₂)
   这种形式下，我们可以通过全概率公式进一步展开P(E₁,E₂)：
   P(E₁,E₂) = P(E₁,E₂|A)P(A) + P(E₁,E₂|¬A)P(¬A)
   （其中P(¬A) = 1 - P(A)）

所需条件 #

不管用哪种方法，核心都是要掌握联合概率分布的相关信息，具体来说：

• 若用定义式：需要直接知道P(A,E₁,E₂)和P(E₁,E₂)，或者能从其他已知概率（比如概率图模型、联合概率表）推导得到这些值。
• 若用贝叶斯变形：需要知道先验概率P(A)，以及在A发生/不发生时，E₁和E₂的联合似然P(E₁,E₂|A)、P(E₁,E₂|¬A)。

为什么多数解法假设E₁和E₂独立？ #

你提到的「多数解法假设独立」，本质是为了简化计算成本。当E₁和E₂独立时，联合概率可以拆成边缘概率的乘积：

• P(E₁,E₂) = P(E₁)P(E₂)
• P(E₁,E₂|A) = P(E₁|A)P(E₂|A)
  这样就不用处理复杂的联合概率，只需要各个事件的边缘概率和条件边缘概率即可。但请注意：这个假设不是必要条件，只要你能获取相依情况下的联合概率信息，就可以直接计算目标概率，不需要做独立假设。

举个直观的例子：假设我们有一张联合概率分布表，直接查询P(A,E₁,E₂)和P(E₁,E₂)的值，代入定义式就能算出结果，完全不需要考虑E₁和E₂是否相依。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rors