整数n≥3时，n²-3n+1形式的数是否均为无平方因子数？

首先明确告诉你：这个结论不成立，存在不少$n≥3$的情况，使得$f(n)$分解素因数后有素数的指数大于1。

具体反例 #

比如取$n=38$，我们来计算$f(38)$：

f(38) = 38² - 3×38 + 1 = 1444 - 114 + 1 = 1331

而$1331=11^3$，这里素因子11的指数是3，显然不符合“所有素数指数均为1”的要求。

背后的原因 #

这种情况出现的本质是，存在素数$p$，使得二次同余方程$n^2 -3n +1 ≡0 \pmod{p^{2}$有解。拿$p=11$来说，我们能找到$n=38$满足这个同余式，所以$f(n)$会包含$p}2$甚至更高次幂作为因子。

你提到的$f(64)=3905=5×11×71$确实是无平方因子的，但这只是个别情况，并非所有$n≥3$都满足这个性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Ryan