推导相依事件的概率和：分步取球概率计算问题

最近我在琢磨相依事件的概率计算，拿个具体例子拆解会更明白——假设有个盒子装了5个球：2个白球、3个红球。我要算的是先取白球再取红球，或者先取红球再取白球这两种情况的总概率。

首先得明确几个事件定义：

• 事件A：第一次取到白球
• 事件B：第一次取到红球
• 事件$(B|A)$：已经取走一个白球后，第二次取到红球（条件概率）
• 事件$(A|B)$：已经取走一个红球后，第二次取到白球（条件概率）

我们要计算的是这两个互斥事件的概率和，也就是$P(A+B)$。因为“先白后红”和“先红后白”不可能同时发生，所以直接把两种情况的概率相加即可：

第一种情况（先白后红）的概率表达式为：
$P(A) \times P(B|A)$

第二种情况（先红后白）的概率表达式为：
$P(B) \times P(A|B)$

代入具体数值计算的话：

• $P(A) = \frac{2}{5}$，取走白球后盒子剩4个球（1白3红），所以$P(B|A) = \frac{3}{4}$，这部分概率就是$\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$
• $P(B) = \frac{3}{5}$，取走红球后盒子剩4个球（2白2红），所以$P(A|B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，这部分概率就是$\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

把两个结果加起来，总概率就是$\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$。

总结一下，这类相依事件的概率公式就是：
$P(A+B) = P(A) \times P(B|A) + P(B) \times P(A|B)$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者No Name QA