对数化简求助：请求化简指定以2为底的对数运算表达式

没问题，我来一步步带你化简这个对数表达式，咱们用对数的核心运算法则来拆解就行，先把原式列出来：
$$\log_{2}\frac{8}{125} - 3\log_{2}\frac{3}{5} -4\log_{2}\frac{1}{2}$$

步骤1：把对数前的系数转化为真数的幂次 #

根据对数的幂法则：$n\log_b a = \log_b a^n$，我们把式子中带系数的项处理一下：

• $3\log_{2}\frac{3}{5} = \log_{2}\left(\frac{3}{5}\right)^3$
• $4\log_{2}\frac{1}{2} = \log_{2}\left(\frac{1}{2}\right)^4$

替换后原式变为：
$$\log_{2}\frac{8}{125} - \log_{2}\left(\frac{3}{5}\right)^3 - \log_{2}\left(\frac{1}{2}\right)^4$$

步骤2：利用对数的减法法则合并项 #

根据对数的商法则：$\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$，多个减法可以合并为除以所有被减项的乘积：
$$\log_{2}\left( \frac{\frac{8}{125}}{\left(\frac{3}{5}\right)^3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4} \right)$$

步骤3：计算分式中的数值部分 #

先分别计算分母里的幂次：

• $\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$
• $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$
• 分母乘积：$\frac{27}{125} \times \frac{1}{16} = \frac{27}{2000}$

然后计算整个大分式：
$$\frac{8}{125} \div \frac{27}{2000} = \frac{8}{125} \times \frac{2000}{27} = \frac{8 \times 16}{27} = \frac{128}{27}$$

现在式子简化为：
$$\log_{2}\frac{128}{27}$$

步骤4：拆分为更简洁的形式 #

把真数拆成两个数的商，再用商法则拆分：
$$\log_{2}128 - \log_{2}27$$

因为$128 = 2^7$，$27 = 3^3$，再结合幂法则：

• $\log_{2}128 = \log_{2}2^7 = 7$
• $\log_{2}27 = \log_{2}3^3 = 3\log_{2}3$

最终化简结果为：
$$7 - 3\log_{2}3$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Y.M.80