如何用留数定理求解含分支割线的三角函数定积分

好的，我来一步步带你用留数定理搞定这个定积分，顺便帮你打通这类含三角函数积分的解题思路～

步骤1：利用偶函数性质简化积分 #

首先，咱们先利用被积函数的偶函数性质简化积分——毕竟$\cos(-θ)=\cosθ$，所以原积分可以直接拆成两倍的半区间积分：
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos{1-\nu}\theta d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2}\cos{1-\nu}\theta d\theta$$

步骤2：变量替换转化为Beta函数形式 #

接下来做个变量替换，把三角函数积分转化为更容易用留数处理的Beta函数形式。令$t = \cos^2\theta$，那么：

• 当$\theta=0$时，$t=1$；当$\theta=\pi/2$时，$t=0$
• 求导可得$dt = -2\cos\theta\sin\theta d\theta$，变形后$d\theta = -\frac{dt}{2\sqrt{t(1-t)}}$

把这些代入积分，整理后就能得到标准的Beta函数表达式：
$$2\int_{1}^{0} t^{(1-\nu)/2} \cdot \left(-\frac{dt}{2\sqrt{t(1-t)}}\right) = \int_{0}^{1} t^{{-\nu/2}(1-t)}{-1/2}dt$$
这正是Beta函数$\text{B}(p,q) = \int_{0}^{1}t{p-1}(1-t)^{q-1}dt$，这里$p=1-\frac{\nu}{2}$，$q=\frac{1}{2}$，所以原积分等于$\text{B}\left(1-\frac{\nu}{2}, \frac{1}{2}\right)$。

步骤3：用留数定理计算Beta函数（关联Gamma函数） #

Beta函数和Gamma函数的关系是$\text{B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$，但咱们要用留数定理推导这个关系，从而得到最终结果：

第一步：计算经典围道积分

先考虑这个经典积分：$\int_{0}^{{\infty}\frac{t}{s-1}}{1+t}dt$（其中$0<\text{Re}(s)<1$，对应这里的$s=p=1-\nu/2$，刚好满足$0<1-\nu/2<1$，因为$0<\nu<1$）。

构造围道：取正实轴为分支割线（从0到∞），围道由4部分组成：

• 沿割线上方从$\epsilon$到$R$的线段$C_1$
• 半径为$R$的上半平面大圆弧$C_R$
• 沿割线下方从$R$到$\epsilon$的线段$C_2$
• 半径为$\epsilon$的小圆弧$C_\epsilon$

围道内唯一的奇点是$t=-1$（对应复平面上的$e^{{i\pi}$），函数$f(t)=\frac{t}{s-1}}{1+t}$在该点的留数为：
$$\text{Res}(f,-1) = \lim_{t\to -1}(t+1)f(t) = (-1)^{s-1} = e^{i\pi(s-1)}$$

根据留数定理，闭合围道的积分等于$2\pi i$乘以留数：
$$\int_{C_1}f(t)dt + \int_{C_R}f(t)dt + \int_{C_2}f(t)dt + \int_{C_\epsilon}f(t)dt = 2\pi i e^{i\pi(s-1)}$$

当$R\to\infty$时，大圆弧积分$\int_{C_R}f(t)dt\to0$（因为被积函数的模随$R$增长的速度慢于积分长度的增长速度）；当$\epsilon\to0$时，小圆弧积分$\int_{C_\epsilon}f(t)dt\to0$（同理，被积函数的模随$\epsilon$缩小的速度足够快）。

而$C_2$上的$t$辐角比$C_1$上的小$2\pi$，所以$t^{s-1}=x{s-1}e^{-i2\pi(s-1)}$，代入得：
$$\int_{C_2}f(t)dt = -e^{{-i2\pi(s-1)}\int_{0}}{\infty}\frac{x^{s-1}}{1+x}dx$$

令$I=\int_{0}^{{\infty}\frac{t}{s-1}}{1+t}dt$，整理围道积分等式可得：
$$I(1 - e^{-i2\pi s}) = 2\pi i e^{-i\pi s}$$
利用三角恒等式$1 - e^{-i2\pi s}=2i e^{-i\pi s}\sin\pi s$，代入后解得：
$$I = \frac{\pi}{\sin\pi s}$$

第二步：关联Beta与Gamma函数

把Beta函数转化为上面的积分形式：令$t=\frac{u}{1+u}$，则$dt=\frac{du}{(1+u)^2}$，代入Beta函数得：
$$\text{B}(p,q) = \int_{0}^{{\infty}\frac{u}{p-1}}{(1+u)^{p+q}}du$$

结合Gamma函数的性质$\Gamma(p)\Gamma(q)=\Gamma(p+q)\text{B}(p,q)$（这一步也可以通过留数定理结合Gamma函数的围道定义推导，不过这里咱们用这个已证的关联式），代入$p=1-\frac{\nu}{2}$，$q=\frac{1}{2}$，再加上$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$，就能得到：
$$\text{B}\left(1-\frac{\nu}{2}, \frac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma\left(1-\frac{\nu}{2}\right)\sqrt{\pi}}{\Gamma\left(\frac{3}{2}-\frac{\nu}{2}\right)}$$

最终结果 #

把上面的结果代回原积分，就得到了题目要的等式：
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos{1-\nu}\theta d\theta = \frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(1-\frac{\nu}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{3}{2}-\frac{\nu}{2}\right)}$$

额外小提示 #

如果你想直接对$\cos^{{1-\nu}\theta$做围道积分，可以令$z=e}{i\theta}$，把积分转化为单位圆右半周的复积分，但这个方法需要处理多值函数的分支割线，操作起来更复杂。上面通过Beta函数转经典留数积分的方法，是处理这类积分更简洁的路径，也能帮你解决后续遇到的含指数与三角函数的复杂积分哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ANJAN DASGUPTA