矩阵A的秩与其余子式矩阵的秩的关系及5阶实矩阵情形分析

嘿，咱们一步步来拆解这个问题，结合你提到的$A\hat{A}^T = (\det A) I$这个结论分析：

一、矩阵$A$的秩与其余子式矩阵$\hat{A}$的一般关系 #

假设$A$是$n$阶方阵，$\hat{A}$是以$A_{ij}$（$a_{ij}$的代数余子式）为第$(i,j)$元的矩阵，二者的秩关系分三种情况：

• 当$\text{rank}(A) = n$（$A$可逆）：此时$\det(A) \neq 0$，由$A\hat{A}^T = (\det A)I$，两边取行列式可得$\det(\hat{A}^T) = (\det A)^{n-1} \neq 0$，说明$\hat{A}^T$可逆，因此$\hat{A}$也可逆，$\text{rank}(\hat{A}) = n$。
• 当$\text{rank}(A) = n-1$：此时$\det(A) = 0$，所以$A\hat{A}^T = 0$，这意味着$\hat{A}^T$的所有列向量都是齐次方程$Ax=0$的解。而$Ax=0$的解空间维数是$n - \text{rank}(A) = 1$，所以$\text{rank}(\hat{A}^T) \leq 1$；同时，因为$\text{rank}(A)=n-1$，$A$至少有一个$n-1$阶子式非零，对应至少一个代数余子式$A_{ij} \neq 0$，所以$\hat{A}$不是零矩阵，因此$\text{rank}(\hat{A}) = 1$。
• 当$\text{rank}(A) < n-1$：此时$A$的所有$n-1$阶子式全为0，所有代数余子式$A_{ij}=0$，$\hat{A}$是零矩阵，故$\text{rank}(\hat{A}) = 0$。

二、5阶实矩阵$A$的具体情况 #

1. 当$\text{rank}(A) = 5$时 #

5阶矩阵秩为5，说明$A$是可逆矩阵，$\det(A) \neq 0$。根据$A\hat{A}^T = (\det A)I$，两边左乘$A^{{-1}$可得$\hat{A}}T = (\det A)A^{{-1}$。因为$A}{-1}$是可逆矩阵，所以$\hat{A}^T$也可逆，进而$\hat{A}$的秩等于5。

2. 当$\text{rank}(A) = 3$时 #

5阶矩阵秩为3，显然$3 < 5-1=4$，符合上面第三种情况：$A$的所有4阶子式全为0，所有代数余子式$A_{ij}=0$，因此$\hat{A}$是零矩阵，其秩为0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anu