CLRS附录调和级数分数拆分困惑：1/[x(x+1)]如何转化为1/x-1/(x+1)

嘿，我完全懂这种「反向能验证但正向卡壳」的感觉——你遗漏的核心知识点是部分分式分解（Partial Fraction Decomposition），这是代数中拆分有理函数的基础技巧，也是CLRS里这个调和级数化简的关键。下面给你两种正向推导的思路，帮你打通这个环节：

方法1：标准部分分式分解法 #

这是通用的拆分有理分式的步骤，适合更复杂的情况：

• 第一步：设拆分形式。因为分母是两个互质的一次因式$x$和$x+1$的乘积，我们可以假设：
  $$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$$
  这里$A$和$B$是待求的常数。
• 第二步：消去分母。两边同时乘以$x(x+1)$，得到：
  $$1 = A(x+1) + Bx$$
• 第三步：求解常数$A$和$B$。我们可以代入特殊值快速计算：
  • 令$x=0$，代入得$1 = A(0+1) + B \times 0$，直接得出$A=1$；
  • 令$x=-1$，代入得$1 = A \times 0 + B \times (-1)$，得出$B=-1$；
• 第四步：代回原式。把$A=1$和$B=-1$代入拆分式，就得到：
  $$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$$

方法2：凑项法（更直观的技巧） #

针对这种分母是连续整数乘积的特殊情况，我们可以利用分子的“凑数”技巧：

• 观察到$(x+1) - x = 1$，而原式的分子正好是1，所以可以把分子替换成$(x+1)-x$：
  $$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{(x+1) - x}{x(x+1)}$$
• 拆分分子，把分式拆成两项：
  $$\frac{(x+1)}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)}$$
• 分别约分这两项：
  $$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$$

为什么这个拆分有用？ #

这个拆分的核心作用是让求和变成望远镜级数（Telescoping Series）——当你对这个分式从$x=1$到$n$求和时，大部分项会相互抵消：
$$\sum_{x=1}^n \frac{1}{x(x+1)} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}$$
这也是CLRS里用这个示例的原因，能快速化简调和级数相关的求和。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Monti