含根式的有理函数间断点确定及连续x值求解问询

嘿，咱们一步步拆解这个问题，搞清楚它的间断点和连续范围：

先明确函数的定义域 #

要让这个函数在实数范围内有意义，必须同时满足两个条件：

• 根号内的表达式不能为负：3x - 6 ≥ 0，解这个不等式得 x ≥ 2
• 分母不能为零：x - 5 ≠ 0，也就是 x ≠ 5

所以这个函数的定义域是 [2, 5) ∪ (5, +∞)

分析间断点 #

函数的间断点要么出现在无定义区域，要么出现在定义域内但不连续的点：

• x < 2的区间：这时候根号里的3x-6是负数，实数范围内函数没有定义，所以整个(-∞, 2)都是函数的间断区域（毕竟函数在这根本不存在，自然谈不到连续）
• x = 5这个点：分母为零导致函数无定义，而且当x趋近于5时，分子√(3x-6)趋近于√(15-6)=3，分母趋近于0，函数值会趋向无穷大，这是典型的无穷间断点

确定连续区间 #

这个函数是由根式函数、多项式函数通过四则运算构成的初等函数，而初等函数在它的定义域内都是连续的。所以函数的连续区间就是它的定义域：[2, 5) ∪ (5, +∞)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mustafa Ali