如何通过部分分式展开处理形如P(s)=U(s)/V(s)的生成函数？

咱们来一步步拆解这种有理函数的部分分式分解逻辑：

首先，设定我们的目标有理函数形式为：
$$P(s)=\frac{U(s)}{V(s)}$$
其中U和V是无公根的多项式。为了简化分析，先做两个前提限定：

• U的次数低于V的次数（记V的次数为m）
• 方程$V(s)=0$有m个不同的单根$s_1, s_2, ... ,s_m$，因此V(s)可以因式分解为：
  $$V(s)=(s-s_1)(s-s_2)...(s-s_m)$$

在这个前提下，P(s)可以分解为如下的部分分式形式：
$$P(s)=\frac{z_1}{(s_1-s)}+\dots+\frac{z_m}{(s_m-s)}$$
这里的$z_1,...z_m$都是待求的常数。

接下来推导这些常数的求解方法：
我们将等式两边同时乘以$V(s)$（也就是$(s-s_1)(s-s_2)...(s-s_m)$），此时左边变为$U(s)$，右边每一项乘完后会消去对应的分母项。

如果我们想求解某个特定的$z_k$，可以把$s=s_k$代入乘完后的等式：
此时右边除了包含$z_k$的那一项，其他所有项都会因为含有$(s-s_k)$这个因子而变为0，最终得到：
$$U(s_k) = z_k \cdot \prod_{\substack{i=1 \ i \neq k}}^m (s_k - s_i)$$

整理一下就能解出$z_k$：
$$z_k = \frac{U(s_k)}{\prod_{\substack{i=1 \ i \neq k}}^m (s_k - s_i)}$$

另外，注意到分母其实就是V(s)在$s=s_k$处的导数$V'(s_k)$（对V(s)求导后代入$s_k$，其他因式的乘积项刚好就是这个结果），所以$z_k$也可以用更简洁的留数公式表示：
$$z_k = \frac{U(s_k)}{V'(s_k)}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user13