对称正定矩阵乘积迹相关不等式证明问题

嘿，你已经做了最关键的铺垫工作啦，剩下的就是用**算术-几何均值不等式（AM-GM）**来收尾，我一步步给你理清楚：

回顾已知结论 #

• 因为$S$是对称正定（spd）矩阵，所以存在spd矩阵$T$满足$T^2=S$，且$SH$与$THT$相似，因此$SH$也是spd矩阵，其所有特征值$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$都是正实数。
• 对于spd矩阵，行列式的$n$次方根等于其特征值的几何均值，即：
  $$\sqrt[n]{\det(M)} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n \mu_i}$$
  其中$\mu_i$是$M$的特征值。

推导关键等式 #

首先，利用行列式的乘积性质：
$$\det(SH) = \det(S)\det(H)$$
而$SH$的行列式也等于其特征值的乘积，即$\det(SH) = \prod_{i=1}^n \lambda_i$，因此：
$$\prod_{i=1}^n \lambda_i = \det(S)\det(H)$$
变形可得：
$$\sqrt[n]{\det(S)} = \frac{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n \lambda_i}}{\sqrt[n]{\det(H)}} \tag{1}$$

应用AM-GM不等式 #

对于正实数$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$，算术均值不小于几何均值：
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \lambda_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n \lambda_i}$$
而矩阵的迹等于其特征值之和，即$\sum_{i=1}^n \lambda_i = Tr(SH)$，代入上式得：
$$\frac{Tr(SH)}{n} \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n \lambda_i} \tag{2}$$

合并得到结论 #

将(2)式两边同时除以$\sqrt[n]{\det(H)}$，再结合(1)式的关系，就有：
$$\frac{Tr(SH)}{n\sqrt[n]{\det(H)}} \geq \sqrt[n]{\det(S)}$$
也就是你要证明的不等式：
$$\sqrt[n]{\det{S}}\leq\frac{Tr(SH)}{n\sqrt[n]{\det{H}}}$$

等号成立条件 #

当且仅当AM-GM不等式的等号成立，即所有$\lambda_i$相等，也就是$SH$的特征值全相同。结合相似关系，这等价于$THT$是数量矩阵，进一步可推导出$H = kS^{-1}$（其中$k>0$是常数），即$H$是$S$的逆矩阵的正倍数时，等号成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Do