求不定积分∫(2x+7)/[(x+1)(x²+1)]dx，限用指定积分方法

嘿，我完全懂你这种卡壳的感觉——有时候盯着积分题，明明手里有换元、分部积分这些工具，就是找不到下手的突破口。别慌，我给你举两个典型的例子，全程只用你掌握的方法一步步拆解，你可以参考这个思路去攻克你遇到的问题。

例子1：仅用分部积分法求解 #

假设要计算积分：∫x e^x dx
分部积分的核心公式是：∫u dv = uv - ∫v du

1. 选对分部变量：
   • 设u = x，求导后du = dx（这样能把多项式降次，简化后续计算）
   • 设dv = e^x dx，用标准积分公式可得v = e^x
2. 代入公式计算：

   ∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx
   

3. 用标准公式收尾：
   ∫e^x dx是基础积分，结果为e^x + C，代入后得到最终结果：

   ∫x e^x dx = e^x(x - 1) + C
   

例子2：换元法+分部积分法结合求解 #

再看一个需要先换元简化的积分：∫x ln(x² + 1) dx

1. 先换元降低复杂度：
   令t = x² + 1，则dt = 2x dx，也就是x dx = dt/2，原积分转化为：

   (1/2)∫ln(t) dt
   

2. 对简化后的积分用分部积分：
   设u = ln(t)，du = 1/t dt；dv = dt，v = t
   代入分部积分公式：

   (1/2)[t ln(t) - ∫t*(1/t) dt] = (1/2)[t ln(t) - ∫1 dt]
   

3. 用标准公式计算并换回原变量：
   ∫1 dt = t + C，代入后再把t = x² + 1换回去，得到：

   (1/2)[(x² + 1)ln(x² + 1) - (x² + 1)] + C
   

如果你能把你遇到的具体积分式子告诉我，我可以更精准地帮你拆解步骤哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Abi Nand