如何证明线性无关生成集（基）是极小生成集？相关疑问

一、如何证明线性无关的生成集（基）是极小生成集？ #

其实不用绕复杂的反证法，直接结合线性无关和极小生成集的定义就能快速推导：

假设 ( S = {v_1, v_2, ..., v_n} ) 是向量空间 ( V ) 的一个基，也就是满足两个核心条件：

1. ( S ) 是线性无关的；
2. ( S ) 能张成 ( V )（即生成集）。

要证明 ( S ) 是极小生成集，核心要证：从 ( S ) 中去掉任意一个向量 ( v_i ) 后，剩下的集合 ( S \setminus {v_i} ) 无法张成 ( V )。

根据线性无关的定义：因为 ( S ) 线性无关，所以 ( v_i ) 绝对不能被 ( S \setminus {v_i} ) 中的向量线性表出——如果能的话，( S ) 就存在线性相关的向量组，直接和基的定义矛盾。

而如果 ( S \setminus {v_i} ) 能张成 ( V )，那么 ( V ) 中的所有向量（包括 ( v_i )）都应该能被 ( S \setminus {v_i} ) 线性表出，这显然和上面的结论冲突。

所以，( S ) 中去掉任何一个向量都会导致生成能力缺失，也就是说 ( S ) 无法再缩小，因此它是极小生成集。

二、是否存在由不同于 ( S ) 中向量的线性无关向量构成的更小集合作为极小生成集？ #

答案是不可能，核心原因和向量空间的维数有关：

• 向量空间的维数是固定的，等于它任意一个基的大小；
• 任何极小生成集本质上都是基（反过来，基也是极小生成集），所以所有极小生成集的大小都严格等于空间的维数。

如果 ( S ) 是基，大小为 ( n )，那么不存在任何大小小于 ( n ) 的集合能张成 ( V )，更别说作为极小生成集了。

不过，存在和 ( S ) 向量不同但大小相同的极小生成集（也就是不同的基），比如在二维平面中，({(1,0),(0,1)}) 和 ({(1,1),(1,-1)}) 都是极小生成集，它们的向量完全不同，但大小一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Flintoff