已知曲线过指定坐标，求解三次方程中常数a的两个可能值

嘿，你完全没必要去展开那些繁琐的括号！这个问题用换元法就能快速解决，特别适合考试场景下节省时间、避免计算错误。

步骤1：换元简化方程 #

观察原方程的结构：
$$ y= (x+a)^3 + 10(x+a)^2 +25(x+a) $$
每一项都包含相同的因式 (x+a)，我们设 t = x + a，这样原方程可以简化为：
$$ y = t^3 + 10t^2 + 25t $$

步骤2：因式分解简化后的方程 #

把右边的式子提取公因式并进一步分解：
$$ y = t(t^2 + 10t + 25) = t(t+5)^2 $$
（这里用到了完全平方公式：$t^{2+10t+25=(t+5)}2$）

步骤3：代入已知点求解t #

已知点$(-3,0)$在曲线上，所以将$x=-3$，$y=0$代入：

• 先计算t的值：$t = x + a = -3 + a$
• 代入简化后的方程：$0 = t(t+5)^2$

这个方程的解很直观：乘积为0则至少一个因子为0，所以：

• 情况1：$t = 0$
• 情况2：$(t+5)^2 = 0$ → $t = -5$

步骤4：回代求a的可能值 #

分别把两种情况的t值代入$t = -3 + a$：

• 情况1：$0 = -3 + a$ → $a = 3$
• 情况2：$-5 = -3 + a$ → $a = -2$

验证（可选） #

你可以快速验证一下：

• 当$a=3$时，$x+a=0$，代入原方程得$y=0+0+0=0$，符合条件；
• 当$a=-2$时，$x+a=-5$，代入原方程得$y=(-5)^3 +10*(-5)^2 +25*(-5) = -125+250-125=0$，也符合条件。

这种方法的核心就是利用换元把复杂的高次方程转化为简单的因式分解问题，完全避免了展开括号的繁琐操作，考试里能帮你省不少时间哦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Computing Corn