初等证明求助：证明$a^2b^2(a^2-b^2)$可被12整除

嘿，我懂你卡在从2和3入手证明a²b²(a²-b²)能被它们整除的困境了，咱们完全不用模算术，就从整数的基本性质出发给你几个初始提示：

• 先分析a和b的奇偶性：
  • 只要a或b是偶数，a²或b²里就包含因数4（偶数的平方是4的倍数），那整个式子自然能被2整除；
  • 如果a和b都是奇数，那么a²和b²都是奇数，奇数减奇数的结果是偶数，所以a²-b²是偶数，整个式子也会带有因数2。

• 任何整数都可以归为三类：3的倍数、比3的倍数大1的数、比3的倍数大2的数，咱们分情况看：
  • 若a或b是3的倍数，a²或b²就是9的倍数，整个式子必然包含因数3；
  • 若a和b都不是3的倍数，那它们的平方展开后：
    • 比如(3k+1)² = 9k²+6k+1，这个数减去1就是3的倍数；
    • (3k+2)² = 9k²+12k+4，4减去1也是3的倍数，所以a²和b²除以3都余1，两者相减a²-b²就是3的倍数，整个式子也就带有因数3了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者paul9797