二阶隐函数求导问题：已知3xy-y²=10的一阶导数求d²y/dx²

AI 小北

2026-5-19

嘿，我来帮你搞定这个二阶导数的计算！你已经正确求出一阶导数，这步很关键，接下来咱们就基于这个结果，用隐函数求导法一步步推导出二阶导数：

求解方程$3xy - y^2 = 10$的二阶导数$\frac{d^2y}{dx2}$

首先，你已经得到了正确的一阶导数：
$$y' = \frac{-3y}{3x + 2y}$$

接下来计算二阶导数$y''$，本质是对$y'$关于$x$求导。这里我们用到商的求导法则：对于$\frac{u}{v}$，其导数为$\frac{u'v - uv'}{v^2}$。我们先定义：

$u = -3y$，对$x$求导得$u' = -3y'$（因为$y$是$x$的隐函数，求导需带$y'$）
$v = 3x + 2y$，对$x$求导得$v' = 3 + 2y'$（对$3x$求导得3，对$2y$求导得$2y'$）

把上述结果代入商的求导法则，得到：
$$
y'' = \frac{(-3y')(3x + 2y) - (-3y)(3 + 2y')}{(3x + 2y)^2}
$$

第一步：展开并化简分子

先把分子部分展开：
$$
\begin{align*}
\text{分子} &= -3y'(3x + 2y) + 3y(3 + 2y') \
&= -9x y' - 6y y' + 9y + 6y y' \
\end{align*}
$$
可以看到$-6y y'$和$+6y y'$直接抵消，分子简化为：
$$
\text{分子} = -9x y' + 9y = 9(y - x y')
$$

第二步：代入一阶导数$y'$并化简

把$y' = \frac{-3y}{3x + 2y}$代入简化后的分子：
$$
\begin{align*}
\text{分子} &= 9\left(y - x \cdot \frac{-3y}{3x + 2y}\right) \
&= 9\left(y + \frac{3x y}{3x + 2y}\right) \
&= 9\left(\frac{y(3x + 2y) + 3x y}{3x + 2y}\right) \
&= 9\left(\frac{3x y + 2y^2 + 3x y}{3x + 2y}\right) \
&= 9\left(\frac{6x y + 2y^2}{3x + 2y}\right) \
&= \frac{18y(3x + y)}{3x + 2y}
\end{align*}
$$