求助：求解满足指定初值条件的三阶矩阵微分方程特解

先给你提个醒：你之前给出的通解是不正确的哦！这个系数矩阵并非可对角化形式，还包含特征值0（对应常数解），咱们得从原方程组一步步推导，先解最简单的方程再递推求解。

步骤1：拆解原方程组 #

把原方程写成分量形式，会清晰很多：
$$
\begin{cases}
x_1'(t) = a x_1(t) + x_2(t) \
x_2'(t) = a x_2(t) + x_3(t) \
x_3'(t) = 0
\end{cases}
$$
第三个方程最容易处理，直接积分可得 $x_3(t) = c_3$（常数），结合初值条件 $x_3(0)=1$，立刻就能确定 $x_3(t)=1$。

步骤2：分情况求解（区分$a≠0$和$a=0$） #

情况1：$a≠0$ #

把$x_3(t)=1$代入第二个方程，得到一阶线性非齐次方程：
$$x_2'(t) - a x_2(t) = 1$$
用积分因子法，积分因子取$e^{-at}$，两边乘积分因子后积分：
$$
e^{-at}x_2(t) = \int e^{-at} \cdot 1 dt + c_2 = -\frac{1}{a}e^{-at} + c_2
$$
整理后得到：
$$x_2(t) = c_2 e^{at} - \frac{1}{a}$$
代入初值$x_2(0)=0$：
$$0 = c_2 - \frac{1}{a} \implies c_2 = \frac{1}{a}$$
所以$x_2(t) = \frac{1}{a}(e^{at} - 1)$。

接下来把$x_2(t)$代入第一个方程，得到：
$$x_1'(t) - a x_1(t) = \frac{1}{a}(e^{at} - 1)$$
这个方程右边包含齐次解形式$e^{at}$，所以特解要设为$A t e^{at} + B$：

• 对$A t e^{at}$求导：$A e^{at} + a A t e^{at}$，代入方程得$A e^{at} = \frac{1}{a}e^{at} \implies A=\frac{1}{a}$
• 对常数$B$，代入方程得$-a B = -\frac{1}{a} \implies B=\frac{1}{a^2}$

所以$x_1(t)$的通解是：
$$x_1(t) = c_1 e^{at} + \frac{1}{a}t e^{at} + \frac{1}{a^2}$$
代入初值$x_1(0)=0$：
$$0 = c_1 + \frac{1}{a^2} \implies c_1 = -\frac{1}{a^2}$$
整理后：
$$x_1(t) = \frac{1}{a^2}(1 - e^{at}) + \frac{t}{a}e^{at}$$

情况2：$a=0$ #

此时原方程组简化为：
$$
\begin{cases}
x_1'(t) = x_2(t) \
x_2'(t) = x_3(t) \
x_3'(t) = 0
\end{cases}
$$
由$x_3(0)=1$得$x_3(t)=1$，代入第二个方程得$x_2'(t)=1$，积分得$x_2(t)=t + c_2$，结合$x_2(0)=0$得$c_2=0$，即$x_2(t)=t$。

再代入第一个方程得$x_1'(t)=t$，积分得$x_1(t)=\frac{t^2}{2} + c_1$，结合$x_1(0)=0$得$c_1=0$，即$x_1(t)=\frac{t^2}{2}$。

最终特解 #

• 当$a≠0$时：
  $$
  x(t) = \begin{pmatrix}
  \frac{1}{a^2}(1 - e^{at}) + \frac{t}{a}e^{at} \
  \frac{1}{a}(e^{at} - 1) \
  1
  \end{pmatrix}
  $$
• 当$a=0$时：
  $$
  x(t) = \begin{pmatrix}
  \frac{t^2}{2} \
  t \
  1
  \end{pmatrix}
  $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者newbie