求证：若整数a、b互素，则gcd(a+kb,b+ka)整除k²-1

嘿，你已经找对方向了——用线性组合确实是解决这类gcd问题的核心，只差最后几步推导而已！咱们一步步来：

1. 先设 d = gcd(a+kb, b+ka)，根据gcd的定义，d能整除这两个数的任意整数线性组合。
2. 构造第一个关键线性组合：用k乘以第二个数，再减去第一个数：

   k*(b+ka) - (a+kb) = kb + k²a - a - kb = a(k² - 1)
   由此可得 d | a(k² - 1)（即d整除这个推导结果）。

3. 再构造第二个线性组合：用k乘以第一个数，再减去第二个数：

   k*(a+kb) - (b+ka) = ka + k²b - b - ka = b(k² - 1)
   由此可得 d | b(k² - 1)。

4. 现在我们有两个结论：d | a(k²-1) 且 d | b(k²-1)。已知a和b互素（gcd(a,b)=1），根据gcd的核心性质：若一个数能整除m*n和p*n，且gcd(m,p)=1，则它必然能整除n。这里m=a、p=b、n=k²-1，所以d一定能整除k²-1。

这样就完成证明啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inverse Problem