请求修正证明：赋范线性空间的开线性子空间等于原空间

设$X$为赋范线性空间，$V\subset X$是线性子空间，我们需要证明：若$V$是开集，则$X=V$。

你的思路方向是对的——要证$X\subset V$，不过你当前的推导逻辑有小问题，先帮你梳理正确的证明路径，再解答你的推导疑问：

正确的证明思路 #

因为$V$是开线性子空间，首先它必然包含某个以原点为中心的开球。根据开集定义，$V$包含原点，而开集里的每个点都有一个完全包含在开集内的邻域，因此存在$\epsilon>0$，使得开球$B(0;\epsilon)\subset V$。

接下来任取$x\in X$：

• 若$x=0$，显然$x\in V$；
• 若$x\neq0$，构造向量：
  $$y = \frac{\epsilon}{2|x|}x$$
  计算范数可得$|y| = \frac{\epsilon}{2|x|}\cdot|x| = \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$，因此$y\in B(0;\epsilon)\subset V$。

由于$V$是线性子空间，对标量乘法封闭，所以$x = \frac{2|x|}{\epsilon}y \in V$。

由此可知任意$x\in X$都属于$V$，即$X\subset V$，结合$V\subset X$的前提，可推出$X=V$。

关于你推导疑问的解答 #

你想推导的$x_n\in B(x_n;\epsilon) \implies x_{n-1}\in B(x_n;\epsilon)$是不成立的，没有任何依据能保证这一点。你可能混淆了序列收敛的性质：序列$x_n\to x$仅能说明当$n$足够大时，$x_n$与$x$的距离足够小，但$x_{n-1}$和$x_n$之间的距离并没有被限制在$\epsilon$以内，所以这个推导是错误的方向。

其实完全不需要用序列收敛的思路来做这个证明，上面用原点邻域+线性子空间封闭性的方法更直接严谨。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Skortya