关于ℤ[i]作为唯一分解整环的疑问及证明方法咨询

一、为何10的两种分解不违反唯一分解性 #

首先得明确唯一分解整环（UFD）的核心定义：每个非零非单位元素都能分解为不可约元的乘积，且这种分解在相伴元和因子顺序的意义下是唯一的。这里的相伴元指的是两个元素差一个单位（即乘法可逆元），ℤ[i]中的单位是±1和±i——只有这些元素满足范数(N(a+bi)=a^2+b2=1)（范数是正整数，可逆元的范数必须为1）。

现在看10的两种分解：

• (10=(3+i)(3-i))
• (10=2×5)

这两种分解看似不同，但本质是同一组不可约因子的不同分组：

1. 先拆解2和5：(2=(1+i)(1-i))，(5=(2+i)(2-i))，其中(1+i,1-i,2+i,2-i)都是ℤ[i]中的不可约元（它们的范数分别是2、2、5、5，无法分解为两个非单位元素的乘积——非单位元素的范数至少为2，而2和5都是ℤ中的素数，没法拆成两个≥2的整数乘积）。
2. 再看(3+i)：计算可得(3+i=(1+i)(2-i))，同理(3-i=(1-i)(2+i))，二者都是两个不可约元的乘积。

把两种分解都展开为不可约元的乘积：

• ((3+i)(3-i)=(1+i)(2-i)(1-i)(2+i))
• (2×5=(1+i)(1-i)(2+i)(2-i))

这两个分解只是因子顺序不同，所有因子的相伴类完全一致（顺序交换不影响UFD的唯一性要求）。因此这两种分解并没有违反UFD的定义——UFD允许因子顺序调整和相伴元替换，只要不可约因子的“本质”（相伴类）和数量一致即可。

二、从UFD定义出发证明ℤ[i]是UFD #

要证明一个整环是UFD，需要满足两个核心条件：分解存在性和分解唯一性，我们分别从这两点入手：

1. 分解存在性 #

利用ℤ[i]上的范数函数(N(a+bi)=a^2+b2)，它有两个关键性质：

• 对任意(x,y∈ℤ[i])，(N(xy)=N(x)N(y))；
• 当(x)是非零非单位元素时，(N(x)≥2)（单位的范数是1，非单位元素的范数至少为2）。

对于任意非零非单位元素(x∈ℤ[i])：

• 如果(x)本身是不可约元，分解完成；
• 如果(x)可约，那么(x=yz)，其中(y,z)都是非单位元素，此时(N(y) < N(x))且(N(z) < N(x))（因为(N(x)=N(y)N(z))，且(N(y),N(z)≥2)，所以(N(y)≤N(x)/2 < N(x))）。

由于正整数是良序的（不存在无限递减的正整数序列），这个分解过程必然会终止，最终得到(x=π_1π_2…π_k)，其中每个(π_i)都是不可约元。因此分解存在性得证。

2. 分解唯一性 #

要证明唯一性，我们先证明ℤ[i]中的不可约元都是素元（素元定义：若(π|ab)，则(π|a)或(π|b)）。一旦不可约元是素元，就可以像整数环ℤ那样用归纳法证明分解唯一性：

步骤1：证明不可约元是素元

设(π∈ℤ[i])是不可约元，假设(π|ab)但(π\nmid a)且(π\nmid b)。考虑由(π)和(a)生成的理想((π,a))，题目已给出ℤ[i]是欧几里得整环，因此这个理想是主理想，设为((δ))，即((π,a)=(δ))。

因为(π)不可约，(δ)只能是单位或(π)的相伴元：

• 如果(δ)是(π)的相伴元，那么(π∈(δ))，进而(a∈(δ)=(π))，即(π|a)，与假设矛盾；
• 因此(δ)是单位，即((π,a)=ℤ[i])，这意味着存在(s,t∈ℤ[i])使得(sπ + ta = 1)。

两边乘以(b)得：(sπb + tab = b)。由于(π|ab)，所以(π|tab)，同时(π|sπb)，因此(π|b)，与假设矛盾。所以不可约元必是素元。

步骤2：用归纳法证明分解唯一性

对元素的范数(N(x))进行归纳：

• 基例：当(N(x)=2)时，(x)是不可约元（范数为2，无法分解为两个非单位元素的乘积），分解唯一；
• 归纳假设：假设所有范数小于(N(x))的元素都有唯一分解；
• 归纳步骤：设(x=π_1π_2…π_k=ρ_1ρ_2…ρ_m)是(x)的两个不可约分解。因为(π_1)是素元，(π_1|ρ_1ρ_2…ρ_m)，所以(π_1)必整除某个(ρ_j)，不妨设(π_1|ρ_1)。由于(ρ_1)是不可约元，(π_1)和(ρ_1)相伴，即(ρ_1=uπ_1)，其中(u)是单位。

将(ρ_1=uπ_1)代入第二个分解，两边约去(π_1)得：(π_2…π_k=uρ_2…ρ_m)。左边元素的范数是(N(x)/N(π_1) < N(x))，根据归纳假设，这两个分解是唯一的，因此(k-1=m-1)（即(k=m)），且剩下的(π_i)与(ρ_j)（除(ρ_1)外）一一相伴。

综上，分解唯一性得证。

结合分解存在性和唯一性，ℤ[i]满足UFD的定义，因此是唯一分解整环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inverse Problem