如何确定替代线性函数的参数α、β：满足积分相等且总偏差最小？
首先咱们先明确已知条件：给定的函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+$ 是连续可微的，同时满足凸性和单调递增，而且全局积分有限（这意味着当x趋向负无穷时f(x)会趋近于0，毕竟单调递增还能积分收敛，左边必须衰减到0）。现在要找线性函数 $l(x)=\alpha+\beta x$，满足两个核心要求：一是在区间 $(x_1,x_2]$ 上和f的积分相等，二是让两者的总偏差最小。
第一步：先把积分相等的约束转化为简洁式子
先算线性函数在区间上的积分：
$$\int_{x_1}^{x_2}l(x)dx = \alpha(x_2-x_1) + \beta\cdot\frac{x_2^2 - x_1^2}{2}$$
令它等于f在该区间的积分，记这个积分值为 $I = \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx$。因为 $x_2 > x_1$（不然区间没意义），两边除以 $(x_2-x_1)$ 简化后得到：
$$\alpha + \beta\cdot\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{I}{x_2-x_1} \tag{1}$$
这个式子其实很好理解：线性函数在区间中点的取值，刚好等于f在这个区间上的平均积分值（也就是区间上的均值）。
第二步：定义总偏差并转化为单变量优化问题
通常我们说的“总偏差最小”，最常用的是平方积分偏差（也就是最小二乘的思路，数学上容易求解析解，而且符合偏差累加的直观），也就是要最小化：
$$J(\alpha,\beta) = \int_{x_1}^{x_2}[f(x)-(\alpha+\beta x)]^2dx$$
有了约束条件(1)，我们可以把 $\alpha$ 用 $\beta$ 表示出来，这样就变成单变量的优化问题了。从(1)解出 $\alpha$：
$$\alpha = \frac{I}{x_2-x_1} - \beta\cdot\frac{x_1+x_2}{2} \tag{2}$$
把(2)代入偏差函数J里，整理一下括号里的项：
$$f(x) - \frac{I}{x_2-x_1} + \beta\left( \frac{x_1+x_2}{2} - x \right)$$
这样J就变成了只关于 $\beta$ 的函数，接下来求导找最小值就行。
第三步：求最优的 $\beta$ 和 $\alpha$
对J(β)求导并令导数等于0（极值点的必要条件）：
$$J'(\beta) = 2\int_{x_1}^{x_2}\left[ f(x)-\frac{I}{x_2-x_1} + \beta\left( \frac{x_1+x_2}{2}-x \right) \right]\left( \frac{x_1+x_2}{2}-x \right)dx = 0$$
接下来计算里面的积分项：
- 先算 $\int_{x_1}^{x_2}\left( \frac{x_1+x_2}{2}-x \right)^2dx$：换元成关于区间中点的对称变量，能算出结果是 $\frac{(x_2-x_1)^3}{12}$
- 再算 $\int_{x_1}^{x_2}\left( f(x)-\frac{I}{x_2-x_1} \right)\left( \frac{x_1+x_2}{2}-x \right)dx$：拆成两部分后，第二部分的积分是0（对称区间上奇函数的积分），剩下的部分等于 $\frac{x_1+x_2}{2}I - \int_{x_1}^{x_2}x f(x)dx$，记 $M = \int_{x_1}^{x_2}x f(x)dx$，这部分就是 $\frac{x_1+x_2}{2}I - M$
把这两个结果代入导数为0的式子，解出 $\beta$：
$$\beta = \frac{12\left( M - \frac{x_1+x_2}{2}I \right)}{(x_2-x_1)^3} \tag{3}$$
然后把(3)代入(2)，就能得到 $\alpha$ 的表达式，整理后是：
$$\alpha = \frac{I\left[(x_2-x_1)^2 + 3(x_1+x_2)^2\right] - 6(x_1+x_2)M}{(x_2-x_1)^3}$$
额外说明：结合f的性质验证合理性
因为f是凸且单调递增的，所以它的一阶导数非负，二阶导数非负，也就是在区间上是下凸的递增曲线。我们得到的这个线性函数，是在满足积分相等约束下的最小二乘拟合，同时保证了它在区间上的均值和f的均值一致，符合问题的要求。
如果你的“总偏差”指的是L1偏差（绝对值积分），那求解会复杂一点，需要分情况讨论f(x)和l(x)的交点，但平方积分偏差是最常用且有解析解的选择。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者user666
