代数证明：寻找非零a、b使指定不等式在x,y>0时恒成立
让我们一步步拆解这个问题，先从简化不等式开始，把二元变量转化为一元问题会更容易分析：
首先，原不等式为：
$$4ax^2 + 6bx^2 - 2ax^3 - 2ax^2y - 2by^3 - 4bxy^2 \leq 0 \quad (x,y>0)$$
因为$x>0$，我们可以两边同时除以$x^2$（正数，不改变不等号方向），得到：
$$4a + 6b - 2a(x + y) - 2b\left(\frac{y}{x}\right)^3 - 4b\left(\frac{y}{x}\right)^2 \leq 0$$
令$t = \frac{y}{x}$（显然$t>0$），则$y = tx$，代入上式后整理关于$x$的项：
$$-2a(1 + t)x + \left(4a + 6b - 2bt^3 - 4bt^2\right) \leq 0$$
现在这个式子需要对所有$x>0$和$t>0$成立，我们分三种情况讨论$a$的取值：
情况1：$a > 0$
此时一次项系数$-2a(1+t) < 0$（因为$1+t>0$），左边是关于$x$的减函数，它的最大值出现在$x$趋近于$0^+$的时候，极限值为：
$$4a + 6b - 2bt^3 - 4bt^2$$
要让不等式恒成立，这个最大值必须$\leq 0$对所有$t>0$成立，即：
$$4a \leq b(2t^3 + 4t^2 - 6)$$
分析右边的函数$f(t) = 2t^3 + 4t^2 - 6$：
- 求导得$f'(t) = 6t^2 + 8t > 0$（$t>0$），所以$f(t)$在$t>0$时单调递增；
- $f(1) = 2 + 4 - 6 = 0$，因此当$t < 1$时$f(t) < 0$，$t > 1$时$f(t) > 0$。
当$t < 1$时，$f(t) < 0$，左边$4a > 0$：
- 若$b \geq 0$，右边$b \cdot f(t) \leq 0$，正数不可能$\leq$负数，矛盾；
- 若$b < 0$，右边$b \cdot f(t) = |b|(6 - 2t^3 - 4t^2)$，当$t \to 1^-$时，右边趋近于$0$，但左边$4a > 0$，$0 \geq 4a$不成立，矛盾。
因此$a>0$时没有符合条件的非零$a,b$。
情况2：$a < 0$
此时一次项系数$-2a(1+t) > 0$，左边是关于$x$的增函数。当$x \to +\infty$时，左边会趋向于$+\infty$，必然大于$0$，违反不等式$\leq 0$的要求。因此$a<0$时也无解。
情况3：$a = 0$（此时$b \neq 0$，排除平凡解）
原不等式简化为：
$$6bx^2 - 2by^3 - 4bxy^2 \leq 0$$
除以$x^2$后整理得：
$$b(6 - 2t^3 - 4t^2) \leq 0$$
进一步因式分解$6 - 2t^3 - 4t^2 = -2(t-1)(t^2 + 3t + 3)$，其中$t^2 + 3t + 3$的判别式为负，始终大于$0$：
- 当$t < 1$时，$6 - 2t^3 - 4t^2 > 0$，要求$b \leq 0$；
- 当$t > 1$时，$6 - 2t^3 - 4t^2 < 0$，要求$b \geq 0$。
只有$b=0$满足，但这是平凡解，因此$a=0$时也没有非零解。
不存在非零的$a$和$b$（排除$a=b=0$的情况），使得原不等式对所有$x,y>0$恒成立。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Phu Nguyen
