线性方程组解的情况判定：求参数a、b的取值范围

首先，我们先把原方程组的增广矩阵写出来，再通过行变换化简，这样能更清晰地看到参数的影响：

原方程组的增广矩阵为：

[ 0  1  3 | 1 ]
[ 1  2  6 | 1 ]
[ 0  1 -6 | -1]
[ 2  2  a | b ]

第一步：行变换化简矩阵 #

1. 交换第一行和第二行（让第一行第一个元素为1，方便后续消元）：

[ 1  2  6 | 1 ]
[ 0  1  3 | 1 ]
[ 0  1 -6 | -1]
[ 2  2  a | b ]

2. 第四行减去2倍第一行，消去第四行的第一个元素：
   第四行变为 (2-2×1, 2-2×2, a-2×6, b-2×1) → (0, -2, a-12, b-2)，矩阵更新为：

[ 1  2   6      | 1     ]
[ 0  1   3      | 1     ]
[ 0  1  -6      | -1    ]
[ 0 -2  a-12    | b-2   ]

3. 第三行减去第二行，消去第三行的第二个元素：
   第三行变为 (0, 1-1, -6-3, -1-1) → (0, 0, -9, -2)；
   第四行加上2倍第二行，消去第四行的第二个元素：
   第四行变为 (0, -2+2×1, a-12+2×3, b-2+2×1) → (0, 0, a-6, b)；
   现在得到行阶梯形矩阵：

[ 1  2   6      | 1     ]
[ 0  1   3      | 1     ]
[ 0  0  -9      | -2    ]
[ 0  0  a-6     | b     ]

第二步：分析解的情况 #

我们先看前三个方程对应的子方程组，它的系数矩阵是满秩的（秩为3，和变量数x₁,x₂,x₃的数量一致），所以这个子方程组有唯一解：

• 从第三行 0x₁+0x₂-9x₃=-2 得 x₃=2/9；
• 代入第二行 0x₁+x₂+3x₃=1，得 x₂=1-3×(2/9)=1/3；
• 代入第一行 x₁+2x₂+6x₃=1，得 x₁=1-2×(1/3)-6×(2/9)=-1；

现在把这个唯一解代入第四个方程 2x₁+2x₂+ax₃=b，验证是否成立：
左边计算：2×(-1) + 2×(1/3) + a×(2/9) = -2 + 2/3 + 2a/9 = (2a - 12)/9
右边是 b

接下来分情况讨论：

a) 无解的情况

当第四个方程不满足前三个方程的解时，方程组整体无解，也就是：
(2a - 12)/9 ≠ b
整理成更直观的形式：2a - 9b ≠ 12

b) 有唯一解的情况

当第四个方程恰好满足前三个方程的解时，整个方程组就只有这一组解，也就是：
(2a - 12)/9 = b
整理后：2a - 9b = 12

c) 有无穷多解的情况

由于前三个方程已经确定了唯一的一组解，第四个方程要么兼容这个解（此时还是唯一解），要么不兼容（此时无解），不存在参数a、b使得方程组有无穷多解的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A. Lindberg