如何证明$| \inf A - \inf B | \le \sup |A - B|$及函数下确界不等式？

问题1：$| \inf A - \inf B | \le \sup |A - B|$是否成立？ #

答案是成立，以下是证明思路：

设$M = \sup |A - B|$，根据上确界的定义，对于任意$\epsilon > 0$，存在$a \in A$和$b \in B$使得$a < \inf A + \epsilon$，$b < \inf B + \epsilon$。

首先考虑$\inf A - \inf B$：
$$
\inf A - \inf B \le (a + \epsilon) - \inf B = (a - b) + (b - \inf B) + \epsilon
$$
因为$|a - b| \le M$，所以$a - b \le |a - b| \le M$；同时$b - \inf B \ge 0$（因为$\inf B$是$B$的下界），因此：
$$
\inf A - \inf B \le M + 0 + \epsilon = M + \epsilon
$$

同理，交换$A$和$B$的位置可得：
$$
\inf B - \inf A \le M + \epsilon
$$

结合这两个不等式，我们有：
$$
| \inf A - \inf B | \le M + \epsilon
$$
由于$\epsilon$是任意小的正数，令$\epsilon \to 0$，就得到$| \inf A - \inf B | \le \sup |A - B|$。

问题2：证明$\left| \inf_S f(x) - \inf_S g(x)\right| \le \sup_S \left| f(x) - g(x)\right|$ #

这个结论可以直接利用问题1的结果，或者用函数下确界的性质直接证明，这里给出更直观的直接证明方法：

设$M = \sup_S |f(x) - g(x)|$，根据上确界的定义，对于所有$x \in S$，有：
$$

• M \le f(x) - g(x) \le M
  $$
  整理可得两个不等式：

1. $f(x) \ge g(x) - M$
2. $f(x) \le g(x) + M$

对第一个不等式两边取$S$上的下确界：
$$
\inf_S f(x) \ge \inf_S \left( g(x) - M \right) = \inf_S g(x) - M
$$
移项得：
$$
\inf_S f(x) - \inf_S g(x) \ge -M
$$

对第二个不等式两边取$S$上的下确界：
$$
\inf_S f(x) \le \inf_S \left( g(x) + M \right) = \inf_S g(x) + M
$$
移项得：
$$
\inf_S f(x) - \inf_S g(x) \le M
$$

将这两个结果结合，就有：
$$

• M \le \inf_S f(x) - \inf_S g(x) \le M
  $$
  根据绝对值的定义，这等价于：
  $$
  \left| \inf_S f(x) - \inf_S g(x)\right| \le M = \sup_S \left| f(x) - g(x)\right|
  $$

关于你的疑惑：$| \inf f - \inf g| \le |\sup f - \inf g|$是否成立？ #

这里需要明确：这个不等式并不总是成立，我们可以举一个简单的反例：

设$S = [0,1]$，$f(x) = x$，则$\inf_S f(x) = 0$，$\sup_S f(x) = 1$；$g(x) = x + 2$，则$\inf_S g(x) = 2$。

此时左边$| \inf f - \inf g| = |0 - 2| = 2$，右边$|\sup f - \inf g| = |1 - 2| = 1$，显然$2 > 1$，不等式不成立。

这说明你之前的推导路径可能存在误区，不需要依赖这个不成立的不等式来证明问题2的结论，直接用我们上面给出的下确界性质推导即可。

另外，你提到的$\left| \sup_S f -g\right| = \left| \sup_S f -\inf_S g\right|$应该是笔误，正确的等式是$\sup_S \left( f(x) - g(x) \right) = \sup_S f(x) - \inf_S g(x)$，这个等式是成立的，但它和问题2的结论之间不需要通过那个错误的不等式来关联，直接用我们的方法证明更直接。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yuki Kawabata