求助求解含$u_y^2$的PDE：未指定f时的参数化解问题

嘿，我来帮你梳理这个一阶非线性偏微分方程的解法——你之前用特征线法解过带$u_x^2+u_y2$的PDE，那这个问题用同样的思路就能拆解清楚，刚好能解释为什么当$f(y)$未指定时无法完全消去参数，最终会得到含额外变量的两个方程。

首先把方程整理成标准的一阶非线性PDE形式：
$$u_x + \frac{1}{2}(u_y)^2 = -\frac{1}{2}x^2$$

对于这类形如$F(x,y,u,p,q)=0$（其中$p=u_x, q=u_y$）的方程，特征方程组是核心工具，我们直接写出对应的特征方程：

• $\frac{dx}{dt} = F_p = 1$
• $\frac{dy}{dt} = F_q = q$
• $\frac{du}{dt} = pF_p + qF_q = p + q^2$
• $\frac{dp}{dt} = -F_x - pF_u = x$
• $\frac{dq}{dt} = -F_y - qF_u = 0$

接下来一步步解这些方程，结合初始条件$u(0,y)=f(y)$：

1. 先处理$q=u_y$的方程 #

因为$\frac{dq}{dt}=0$，说明$q$是关于参数$t$的常数，我们把这个常数记为初始参数$a$——也就是初始曲线$x=0$上的$u_y$值，即$a = u_y(0,y_0) = f'(y_0)$（这里$y_0$是$x=0$处的初始y坐标）。所以：
$$q(t) = a$$

2. 求解$x(t)$ #

$\frac{dx}{dt}=1$，结合初始条件$x(0)=0$，积分后直接得到：
$$x(t) = t$$

3. 求解$p=u_x$的方程 #

$\frac{dp}{dt}=x(t)=t$，初始条件需要从原PDE在$x=0$处的情况推导：当$x=0$时，$p(0) + \frac{1}{2}a^2 = 0$，所以$p(0)=-\frac{1}{2}a^2$。积分得：
$$p(t) = -\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}t^2$$
代入$x=t$，可以写成关于$x$的表达式：
$$p(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}a^2$$

4. 求解$y(t)$ #

$\frac{dy}{dt}=q(t)=a$，初始条件$y(0)=y_0$，积分后得到：
$$y(t) = y_0 + a t$$
代入$x=t$，整理一下就能把$y_0$用$x,y,a$表示：
$$y_0 = y - a x$$

5. 求解$u(t)$ #

$\frac{du}{dt}=p + q^2 = \left(\frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{2}a^2\right) + a^2 = \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}a^2$，初始条件$u(0)=f(y_0)$，积分后得到：
$$u(t) = f(y_0) + \frac{1}{6}t^3 + \frac{1}{2}a^2 t$$
再代入$t=x$和$y_0=y - a x$，就得到$u$的表达式：
$$u(x,y) = f(y - a x) + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}a^2 x$$

最终的参数形式解 #

因为$f(y)$没有被具体指定，我们没办法把参数$a$从方程中消去——毕竟$a$和$f$的导数直接相关，未知的$f$意味着$a$无法被唯一确定。所以最优的结果就是包含参数$a$的两个关联方程：

1. $y = y_0 + a x$（等价于$y_0 = y - a x$）
2. $u = f(y_0) + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}a^2 x$

如果后续给定了具体的$f(y)$，你就可以把$y_0=y - a x$代入$f$，再尝试通过联立方程消去$a$，得到$u(x,y)$的显式解；但当$f$是任意函数时，参数$a$就只能作为额外变量保留在解中啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jimbobeanz