证明满足余维数条件的三个向量子空间法相交

定义回顾 #

首先明确题目中的关键定义：

横截相交：若向量子空间$U,W\subset V$满足$U+W=V$，则称二者横截相交，记为$U\pitchfork W$。
法相交：设$\dim V=n$，$V_1,V_2,V_3$是$V$的子空间，若对任意$i\ne k,l$（即每个子空间都与另外两个子空间的交横截相交），有$V_i\pitchfork(V_k\cap V_l)$，则称它们法相交。

我们需要证明的命题：

若$\operatorname{codim}(V_1\cap V_2\cap V_3)=\operatorname{codim} V_1+\operatorname{codim} V_2+\operatorname{codim} V_3$（其中$\operatorname{codim} V_i=n-\dim V_i$表示子空间$V_i$的余维数），则$V_1,V_2,V_3$法相交。

关键工具：余维数的相交公式 #

先回忆线性代数中关于子空间的维数公式：对任意子空间$A,B\subset V$，有
$$\dim(A+B) = \dim A + \dim B - \dim(A\cap B)$$
将其转化为余维数形式（因为$\operatorname{codim} X = n - \dim X$），可以推导出：
$$\operatorname{codim}(A\cap B) = \operatorname{codim}A + \operatorname{codim}B - \operatorname{codim}(A+B)$$
这个公式的核心意义是：两个子空间的交的余维数，等于各自余维数之和减去它们和的余维数。而横截相交$A\pitchfork B$等价于$A+B=V$，即$\operatorname{codim}(A+B)=0$，因此横截相交的等价条件是：
$$\operatorname{codim}(A\cap B) = \operatorname{codim}A + \operatorname{codim}B$$

证明过程 #

我们只需证明：对任意$i\in{1,2,3}$，$V_i\pitchfork(V_j\cap V_k)$（其中$j,k$是另外两个下标）。这里以$i=1$，$j=2,k=3$为例，其余情况由对称性可直接推广。

根据已知条件：
$$\operatorname{codim}(V_1\cap V_2\cap V_3) = \operatorname{codim}V_1 + \operatorname{codim}V_2 + \operatorname{codim}V_3 \tag{1}$$

将$V_2\cap V_3$看作一个整体子空间，对$V_1$和$V_2\cap V_3$应用余维数相交公式：
$$\operatorname{codim}(V_1\cap (V_2\cap V_3)) = \operatorname{codim}V_1 + \operatorname{codim}(V_2\cap V_3) - \operatorname{codim}(V_1 + (V_2\cap V_3)) \tag{2}$$

注意到左边$\operatorname{codim}(V_1\cap (V_2\cap V_3))$就是$\operatorname{codim}(V_1\cap V_2\cap V_3)$，将式(1)代入式(2)：
$$\operatorname{codim}V_1 + \operatorname{codim}V_2 + \operatorname{codim}V_3 = \operatorname{codim}V_1 + \operatorname{codim}(V_2\cap V_3) - \operatorname{codim}(V_1 + (V_2\cap V_3))$$

两边消去$\operatorname{codim}V_1$，整理得：
$$\operatorname{codim}(V_1 + (V_2\cap V_3)) = \operatorname{codim}(V_2\cap V_3) - \operatorname{codim}V_2 - \operatorname{codim}V_3 \tag{3}$$

再对$V_2$和$V_3$应用余维数相交公式：
$$\operatorname{codim}(V_2\cap V_3) = \operatorname{codim}V_2 + \operatorname{codim}V_3 - \operatorname{codim}(V_2+V_3)$$

代入式(3)右边：
$$\operatorname{codim}(V_1 + (V_2\cap V_3)) = - \operatorname{codim}(V_2+V_3)$$

由于余维数是非负整数（$\operatorname{codim}X \geq 0$对任意子空间$X$成立），上式两边只能同时为0，即：
$$\operatorname{codim}(V_1 + (V_2\cap V_3)) = 0$$

这意味着$V_1 + (V_2\cap V_3) = V$，即$V_1\pitchfork(V_2\cap V_3)$。

同理，对$i=2$和$i=3$的情况，重复上述推导过程，可得到$V_2\pitchfork(V_1\cap V_3)$和$V_3\pitchfork(V_1\cap V_2)$。因此，$V_1,V_2,V_3$满足法相交的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user557