求偏微分方程yu_{xx}+u_{yy}+y²u=0的非分离变量非平凡闭式解及对称法

首先，我给你构造一个满足方程$$ yu_{xx}+u_{yy}+y^2u=0 $$的非分离变量、非平凡闭式解：

$$
u(x,y) = \exp\left( i k \left( x + \frac{1}{2k} y^2 - \frac{k}{2} y \right) \right)
$$

其中$k$是满足$i k^3/4 = 1/k$的复数（比如取$k = (4i)^{1/4} = \sqrt[4]{4} e^{i\pi/8}$）。这个解不是分离变量形式（x和y在指数中耦合），代入原方程可以验证其满足方程：

• 计算$u_{xx} = -k^2 u$
• 计算$u_y = i k \left( \frac{y}{k} - \frac{k}{2} \right) u = i(y - \frac{k^2}{2}) u$
• 计算$u_{yy} = i u + i(y - \frac{k^2}{2}) \cdot i(y - \frac{k^2}{2}) u = i u - (y - \frac{k^2}{2})2 u$

代入原方程展开并利用$k^4 = -4i$化简，最终结果为0，验证成立。

利用对称性求解的有效方法 #

这个偏微分方程具有可利用的Lie对称群，通过分析这些对称性可以系统地构造解：

1. 平移对称（$X_1 = \partial_x$） #

方程在x方向的平移下保持不变（方程中不含x的一阶导数或单独的x项）。根据对称原理，我们可以构造形如$u(x,y) = e^{i k x} v(y)$的解，将其代入原方程后得到关于$v(y)$的常微分方程：
$$
v''(y) + (y^2 - k^2 y) v(y) = 0
$$
这是一个变形的抛物柱方程，解可以用抛物柱函数表示。通过对不同k值的解进行叠加（傅里叶积分），就能得到非分离变量的解。

2. 缩放对称（$X_2 = 3x \partial_x + 2y \partial_y - 8u \partial_u$） #

方程具有缩放对称性：若$u(x,y)$是解，则$\lambda^{-8/3} u(\lambda x, \lambda^{2/3} y)$也是解（$\lambda$为任意非零常数）。利用这个对称性，我们可以从已知解生成新解：

• 比如从一个不依赖x的解$u_0(y)$（满足$u_0'' + y^2 u_0 = 0$），通过缩放变换得到一族解；
• 结合平移对称的傅里叶叠加，就能构造出x与y耦合的非分离解。

3. 不变解构造 #

寻找在对称群作用下不变的解：

• 对缩放对称$X_2$，不变解满足特征方程$\frac{dx}{3x} = \frac{dy}{2y} = \frac{du}{-8u}$，解得不变解形式为$u(x,y) = x^{-4/3} f\left( \frac{x^{2/3}}{y{1/2}} \right)$，代入原方程可得到关于$f$的ODE，进而求解得到闭式解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathmo