针对实数k，求极限limₙ→∞(√(n²+nk+1)-⌊√(n²+nk+1)⌋)的解法探讨

咱们先聊聊你用二项式定理的推导思路对不对，再把这个极限问题彻底拆解清楚～

你的推导是否正确？ #

首先可以肯定：你的推导方向和核心步骤都是对的！我来帮你补全更严谨的细节，让逻辑更通顺：

对于$a_n = \sqrt{n^2 + nk + 1}$，我们可以把它改写为：
$$
a_n = n\sqrt{1 + \frac{k}{n} + \frac{1}{n^2}}
$$
用二项式定理$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^{2)$（这里$\alpha=1/2$，$x=\frac{k}{n}+\frac{1}{n}2}$）展开后：
$$
\begin{align*}
a_n &= n\left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{k}{n}+\frac{1}{n^2}\right) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2}\left(\frac{k}{n}+\frac{1}{n^2}\right)2 + o\left(\left(\frac{k}{n}+\frac{1}{n^2}\right)2\right)\right] \
&= n + \frac{k}{2} + \frac{1}{2n} - \frac{k^2}{8n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \
&= n + \frac{k}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right)
\end{align*}
$$
所以你第一步的展开完全没问题。接下来，因为$n$是整数，取整函数$\lfloor a_n \rfloor = \lfloor n + \frac{k}{2} + O(\frac{1}{n}) \rfloor = n + \lfloor \frac{k}{2} + O(\frac{1}{n}) \rfloor$，因此：
$$
a_n - \lfloor a_n \rfloor = \frac{k}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right) - \lfloor \frac{k}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right) \rfloor
$$
这一步推导也是正确的，但要得到最终极限，还得根据$\frac{k}{2}$是否为整数分情况讨论——这是容易忽略的关键点。

分情况计算极限 #

我们把$\frac{k}{2}$拆成整数部分和小数部分：设$\frac{k}{2} = m + f$，其中$m$是整数，$0 \leq f < 1$。

情况1：$f \neq 0$（即$\frac{k}{2}$不是整数，也就是$k$不是偶数） #

当$n$足够大时，$O(\frac{1}{n})$的绝对值会小于$\min(f, 1-f)$，此时$\lfloor \frac{k}{2} + O(\frac{1}{n}) \rfloor = m$，代入后：
$$
a_n - \lfloor a_n \rfloor = (m + f) + o(1) - m = f + o(1)
$$
当$n\to\infty$时，$o(1)$趋近于0，所以极限就是$f$，也就是$\frac{k}{2}$的小数部分，记作$\left{ \frac{k}{2} \right}$（即$\frac{k}{2} - \lfloor \frac{k}{2} \rfloor$）。

情况2：$f = 0$（即$\frac{k}{2}$是整数，也就是$k$是偶数） #

此时$\frac{k}{2}=m$（整数），代入展开式可得：
$$
a_n = n + m + \frac{1 - m^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)
$$
这时候要根据$\frac{1 - m^2}$的符号细分：

• 当$|m| \geq 2$（即$|k| \geq 4$）：$\frac{1 - m^2}{2} < 0$，当$n$足够大时，$\frac{1 - m^2}{2n} + o(\frac{1}{n})$是绝对值小于1的负数，所以$\lfloor a_n \rfloor = n + m - 1$，因此：
  $$
  a_n - \lfloor a_n \rfloor = (n+m + \frac{1 - m^2}{2n} + o(\frac{1}{n})) - (n+m-1) = 1 + \frac{1 - m^2}{2n} + o(\frac{1}{n})
  $$
  当$n\to\infty$时，极限为$1$。
• 当$m = 0, \pm1$（即$k=0, \pm2$）：
  • $k=0$时，$a_n=\sqrt{n^2+1}=n+\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})$，$\lfloor a_n \rfloor =n$，所以$a_n - \lfloor a_n \rfloor \to 0$；
  • $k=2$时，$a_n=\sqrt{n^2+2n+1}=n+1$（整数），所以$a_n - \lfloor a_n \rfloor=0$，极限为0；
  • $k=-2$时，$a_n=\sqrt{n^2-2n+1}=|n-1|$（整数，$n\geq1$），所以$a_n - \lfloor a_n \rfloor=0$，极限为0。

总结 #

• 若$k$不是偶数，极限为$\boldsymbol{\left{ \frac{k}{2} \right}}$（$\frac{k}{2}$的小数部分）；
• 若$k$是偶数：
  • 当$k=0, \pm2$时，极限为$\boldsymbol{0}$；
  • 当$|k| \geq 4$时，极限为$\boldsymbol{1}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fricul38