当ε=0.01时，求满足分段二元函数ε-δ条件的δ取值

咱们来一步步拆解这个问题：

首先给定分段函数：
$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^2y+3xy2}{x^2+y2}, & \text{当$(x,y)\neq(0,0)$时} \[2ex] 0, & \text{当$(x,y)=(0,0)$时 } \end{cases}$$

我们的目标是找到合适的$\delta$，使得当$\sqrt{x^2+y2}<\delta$时，$|f(x,y)-f(0,0)|<0.01$（也就是$\epsilon=0.01$）。

给出的可选答案有：

• 选项1：$\delta <0.01$
• 选项2：$\delta <0.001$
• 选项3：$\delta <0.02$
• 选项4：不存在这样的$\delta$

推导过程 #

因为$f(0,0)=0$，所以我们需要估计的是：
$$\left\vert \frac{2x^2y+3xy2}{x^2+y2} - 0 \right\vert = \left\vert \frac{xy(2x+3y)}{x^2+y2} \right\vert$$

这里可以用基本不等式和三角不等式来做放缩：

1. 首先利用$|xy| \leq \frac{x^2+y2}{2}$（由$(|x|-|y|)^2 \geq 0$推导而来），代入后可以消掉分母的$x^2+y2$：
   $$\left\vert \frac{xy(2x+3y)}{x^2+y2} \right\vert \leq \frac{x^2+y2}{2} \cdot \frac{|2x+3y|}{x^2+y2} = \frac{1}{2}|2x+3y|$$
2. 再用三角不等式$|2x+3y| \leq 2|x| + 3|y|$，而因为$\sqrt{x^2+y2}=r<\delta$，所以$|x| \leq r < \delta$，$|y| \leq r < \delta$，代入后得到：
   $$2|x| + 3|y| < 2\delta + 3\delta = 5\delta$$
3. 把上面的结果合并，就有：
   $$\left\vert \frac{xy(2x+3y)}{x^2+y2} \right\vert < \frac{1}{2} \times 5\delta = \frac{5}{2}\delta$$

现在我们要求这个值小于0.01，也就是：
$$\frac{5}{2}\delta < 0.01$$
解这个不等式得$\delta < 0.004$。

选项判断 #

• 选项1的$\delta<0.01$：当$\delta=0.01$时，$\frac{5}{2}×0.01=0.025>0.01$，不满足条件；
• 选项2的$\delta<0.001$：此时$\frac{5}{2}×0.001=0.0025<0.01$，完全满足要求；
• 选项3的$\delta<0.02$：显然比0.004大很多，肯定不满足；
• 选项4说不存在这样的$\delta$：显然不对，我们已经算出只要$\delta<0.004$就可以，比如0.001就是符合条件的。

所以正确答案是选项2。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Styles