k[x]-模同态对应关系证明及多元多项式环情形推广问询

我来一步步帮你拆解这个问题，其实核心就是把模同态的定义和多项式环的作用对应起来，逻辑就通了：

(i) 一元多项式环$k[x]$的模同态对应证明 #

首先回忆模同态的核心定义：对于$k[x]$-模$M,N$，映射$f:M→N$是模同态当且仅当：

• 对任意$u,v∈M$，$f(u+v)=f(u)+f(v)$（加法群同态）
• 对任意$p(x)∈k[x]$，$u∈M$，$f(p(x)·u)=p(x)·f(u)$（与环的作用兼容）

已知$k[x]$-模$M$对应二元组$(V,A)$，本质是把多项式环的作用转化为线性映射的复合：对任意多项式$p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n∈k[x]$，$v∈V$，有
p(x)·v = a_0v + a_1Av + ... + a_nA^nv
（这里$A^n$表示线性映射$A$的$n$次复合）；同理$N$对应$(W,B)$，多项式作用为p(x)·w = a_0w + a_1Bw + ... + a_nB^nw。

接下来分双向验证对应关系：

• 从模同态到交换线性映射：
  模同态$f$首先是加法群同态，而$V,W$作为加法群就是$k$-向量空间，所以$f$本身就是$k$-线性映射（记为$F=f$）。
  取$k[x]$的生成元$p(x)=x$（只要验证生成元的作用兼容，就能推广到所有多项式）：
  左边：$f(x·v)=f(Av)=F(Av)$
  右边：$x·f(v)=B(f(v))=B(F(v))$
  根据模同态的作用兼容条件，左边=右边，即$F(Av)=B(F(v))$对所有$v∈V$成立，也就是**$B∘F=F∘A$**。

• 从交换线性映射到模同态：
  若$F:V→W$是满足$B∘F=F∘A$的线性映射，首先线性性保证了它是加法群同态。
  用数学归纳法可证：对任意正整数$n$，$F∘A^n = B^n∘F$（基例$n=1$就是给定条件，归纳步利用复合的结合律即可推导）。
  对任意多项式$p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$，计算：
  左边$F(p(x)·v)=F(a_0v+a_1Av+...+a_nA^{nv)=a_0F(v)+a_1F(Av)+...+a_nF(A}nv)$
  代入归纳结论后，上式等于$a_0F(v)+a_1B(F(v))+...+a_nB^n(F(v))$，这正好就是$p(x)·F(v)$（右边），满足模同态的作用兼容条件。

双向验证完成，说明$k[x]$-模同态$f:M→N$与满足$B∘F=F∘A$的$k$-线性映射$F:V→W$一一对应。

(ii) 推广到多元多项式环$k[t₁,…,tₙ]$的情形 #

模的对应关系 #

$k[t₁,…,tₙ]$-模$M$对应**$(V, A₁, A₂, ..., Aₙ)$**，其中：

• $V$是$k$-向量空间；
• $A₁,A₂,...,Aₙ:V→V$是两两可交换的线性映射，即对任意$1≤i,j≤n$，$A_i∘A_j = A_j∘A_i$。

这是因为多元多项式的作用需要多个线性映射的复合，而多项式的乘法交换性要求对应的线性映射也两两可交换。

模同态的对应关系 #

若$k[t₁,…,tₙ]$-模$M,N$分别对应$(V,A₁,...,Aₙ)$和$(W,B₁,...,B_n)$，则模同态$f:M→N$对应满足**$B_i∘F = F∘A_i$对所有$1≤i≤n$成立**的$k$-线性映射$F:V→W$。

证明思路 #

和一元情形一致：

1. 模同态要求对每个生成元$t_i$，都有$f(t_i·v)=t_i·f(v)$，而$t_i·v=A_i(v)$，$t_i·f(v)=B_i(f(v))$，自然得到$B_i∘F=F∘A_i$；再结合多项式的线性组合性质与线性映射的交换性，可推广到所有多项式的作用兼容。
2. 反过来，满足所有$B_i∘F=F∘A_i$的线性映射$F$，利用线性性和线性映射的交换性，可验证对任意多元多项式$p(t₁,…,tₙ)$，都有$F(p·v)=p·F(v)$，同时加法群同态由线性性保证，因此是模同态。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Munkres