L^p空间中不收敛的函数序列构造问题及尝试思路

问题说明 #

给定$p \in (1, \infty)$，我们需要构造函数序列${f_k}_{k=1}^\infty$满足：

• 1. 对所有$1 \leq q < \infty$，$f_k \in L^q$；
• 2. 对所有$q \in [1,p)$，${f_k}$在$L^q$中收敛到0；
• 3. ${f_k}$在$L^p$中发散。

具体构造 #

结合你提到的积分收敛性差异思路，我们可以构造一个双区间的分段函数：
$$f_k(x) = \begin{cases}
k^{\frac{1}{p}} & x \in [0, k^{-1}] \
k & x \in [k, k + k^{-p}] \
0 & \text{其他}
\end{cases}$$

条件验证 #

验证条件1：$f_k \in L^q$对任意$1 \leq q < \infty$ #

对任意$q$，计算$L^q$范数的$q$次幂：
$$||f_k||_{L^q}q = \int_0^{k{-1}} \left(k^{{\frac{1}{p}}\right)}q dx + \int_k^{k + k^{-p}} k^q dx$$
分别计算两个积分：

• 第一个积分：$k^{\frac{q}{p}} \cdot k^{-1} = k^{\frac{q}{p} - 1}$，显然是有限值；
• 第二个积分：$k^q \cdot k^{-p} = k^{q - p}$，同样有限。
  因此$f_k$属于所有$L^q$空间（$1 \leq q < \infty$）。

验证条件2：对$q \in [1,p)$，$f_k \to 0$在$L^q$中 #

当$q < p$时：

• $\frac{q}{p} - 1 = \frac{q - p}{p} < 0$，因此$k^{\frac{q}{p} -1} \to 0$（$k \to \infty$）；
• $q - p < 0$，因此$k^{q - p} \to 0$（$k \to \infty$）。
  所以$||f_k||{L^q}q \to 0$，即$||f_k||{L^q} \to 0$，完全满足$L^q$收敛到0的条件。

验证条件3：${f_k}$在$L^p$中发散 #

首先计算$L^p$范数：
$$||f_k||{L^p}p = \int_0^{k{-1}} k dx + \int_k^{k + k^{-p}} k^p dx = k \cdot k^{-1} + k^p \cdot k^{-p} = 1 + 1 = 2$$
因此$||f_k||{L^p} = 2^{\frac{1}{p}}$，范数有界但不趋向0。

假设${f_k}$在$L^p$中收敛到某个函数$f$，则$f$必须满足：对任意可测集$A$，$\int_A f(x) dx = \lim_{k \to \infty} \int_A f_k(x) dx$。但$f_k$的支撑集是$[0, k^{-1}] \cup [k, k + k^{-p}]$，当$k \to \infty$时，支撑集的测度趋向0，且趋向实轴的两端（0和无穷远），因此$f$必须几乎处处为0。但$||f_k||{L^p} = 2^{\frac{1}{p}} \neq 0$，与$||f_k - f||{L^p} \to 0$矛盾，因此${f_k}$在$L^p$中发散。

补充思路呼应你的初始想法 #

你提到的积分$\int \frac{1}{x^t}$的收敛性差异是核心切入点：低次幂积分在无穷远收敛，临界次积分表现出特殊的发散/有界性。这里的构造本质上是把“临界行为”拆成两个支撑分离的部分，让低次范数趋向0，而高次范数保持有界但序列无法收敛，完美契合问题要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user117375