一维随机游走者Bob先到达位置0而非N的概率计算问题

这是个经典的随机游走问题，咱们一步步拆解，把推导过程和结论说清楚：

1. 定义变量与边界条件 #

首先，设 P(x) 表示Bob当前在位置 x 时，先到达0再到达N的概率。

根据题目规则，两个吸收态的边界条件很明确：

• 当Bob已经在0时，必然满足“先到0”，所以 P(0) = 1
• 当Bob已经在N时，不可能再先到0，所以 P(N) = 0

2. 递推关系推导 #

对于 0 < x < N 的中间位置，Bob每秒钟有两种选择：

• 概率 T 向左移动到 x-1，此时后续的概率就是 P(x-1)
• 概率 1-T 向右移动到 x+1，此时后续的概率就是 P(x+1)

所以根据全概率公式，递推式为：

P(x) = T * P(x-1) + (1-T) * P(x+1)

3. 分情况求解递推方程 #

我们需要分两种情况讨论，因为移动概率是否相等会导致递推方程的解不同：

情况1：左右移动概率不等（T ≠ 0.5） #

先把递推式整理成标准的线性齐次递推形式：

(1-T) * P(x+1) - P(x) + T * P(x-1) = 0

对应的特征方程为：

(1-T)r² - r + T = 0

解这个方程，得到两个特征根：r₁ = 1 和 r₂ = T/(1-T)。因此递推方程的通解为：

P(x) = A + B * (T/(1-T))^x

接下来代入边界条件求解常数 A 和 B：

• 代入 x=0：1 = A + B
• 代入 x=N：0 = A + B * (T/(1-T))^N

联立求解后，得到：

A = (T/(1-T))^N / [(T/(1-T))^N - 1]
B = -1 / [(T/(1-T))^N - 1]

把 A 和 B 代回通解，整理后得到最终概率：

P(x) = [ (T/(1-T))^N - (T/(1-T))^x ] / [ (T/(1-T))^N - 1 ]

如果觉得分式里的比值看着别扭，也可以分子分母同乘 (1-T)^N，整理成另一种等价形式：

P(x) = [ T^N - T^x * (1-T)^{N-x} ] / [ T^N - (1-T)^N ]

情况2：左右移动概率相等（T = 0.5） #

当 T=0.5 时，特征方程会出现重根 r=1，此时递推方程的通解形式变为：

P(x) = A + B*x

同样代入边界条件：

• 代入 x=0：1 = A
• 代入 x=N：0 = 1 + B*N → B = -1/N

所以最终概率非常简洁：

P(x) = 1 - x/N

4. 特殊情况验证 #

咱们可以用几个极端情况验证结论是否合理：

• 当 T=1（Bob每次必向左走）：无论 x 是多少，Bob肯定先到0，代入公式得 P(x)=1，符合预期。
• 当 T=0（Bob每次必向右走）：无论 x 是多少，Bob肯定先到N，代入公式得 P(x)=0，符合预期。
• 当 x=0：P(0)=1，符合边界条件；当 x=N：P(N)=0，也符合边界条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gareth Ma