求联合密度下随机变量X与Y的期望E(XY)的计算方法
咱们一步步拆解这个计算，确保每一步都清晰，方便你考试的时候套用思路：
首先，已知联合密度函数和E(XY)的积分表达式，先把密度函数代入进去，得到具体的积分式：
$$E(XY) = \int_{1}^{2} \int_{0}^{2}xy \cdot \left( \frac{4}{3}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y \right) dy ;dx$$
第一步：简化积分式
先把常数$\frac{1}{3}$提出来，让被积函数更简洁：
$$E(XY) = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} x \left[ \int_{0}^{2} y(4 - x - y) dy \right] dx$$
第二步：计算内层关于y的积分
先展开内层的被积函数：$y(4 - x - y) = (4 - x)y - y^2$，然后拆分积分分别计算：
$$\int_{0}^{2} [(4 - x)y - y^2] dy = (4 - x)\int_{0}^{2} y dy - \int_{0}^{2} y^2 dy$$
分别计算两个基础积分：
- $\int_{0}^{2} y dy = \left. \frac{1}{2}y^2 \right|_{0}^{2} = 2$
- $\int_{0}^{2} y^2 dy = \left. \frac{1}{3}y^3 \right|_{0}^{2} = \frac{8}{3}$
把结果代回去合并：
$$(4 - x) \times 2 - \frac{8}{3} = 8 - 2x - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} - 2x$$
第三步：计算外层关于x的积分
把内层积分的结果代入外层，展开被积函数：
$$E(XY) = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} x \left( \frac{16}{3} - 2x \right) dx = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} \left( \frac{16}{3}x - 2x^2 \right) dx$$
同样拆分积分计算：
- $\int_{1}^{2} x dx = \left. \frac{1}{2}x^2 \right|_{1}^{2} = \frac{3}{2}$
- $\int_{1}^{2} x^2 dx = \left. \frac{1}{3}x^3 \right|_{1}^{2} = \frac{7}{3}$
代入后计算括号内的部分：
$$\frac{1}{3} \left[ \frac{16}{3} \times \frac{3}{2} - 2 \times \frac{7}{3} \right] = \frac{1}{3} \left[ 8 - \frac{14}{3} \right]$$
最后化简得到结果：
$$E(XY) = \frac{1}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{9}$$
考试小贴士
考试的时候注意这几点：
- 确认积分限的范围，别把x和y的区间搞混了；
- 分步计算可以减少出错概率，尤其是拆分积分后，每一步的基础积分都要算对；
- 如果时间充裕，可以交换积分顺序（先x后y）再算一遍，验证结果是否一致。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者eyesima
