《Boldrini线性代数》定理5.4.5：线性变换像与核的维数证明问询

咱们不用一开始就依赖维数公式，先从线性变换和矩阵的对应关系入手，一步步拆解：

先明确符号定义 #

设：

• $V$是$n$维线性空间，基为 $\alpha = {\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$
• $W$是$m$维线性空间，基为 $\beta = {\beta_1, \beta_2, ..., \beta_m}$
• 线性变换 $T: V \to W$ 在基$\alpha, \beta$下的矩阵为 $A = (a_{ij}){m×n}$，即对每个$\alpha_j$，有 $T(\alpha_j) = \sum{i=1}^m a_{ij}\beta_i$（$A$的第$j$列就是$T(\alpha_j)$在$\beta$下的坐标）

第一部分：$\dim \text{Im } T = \text{rank}(A)$ #

咱们从像空间的生成元入手：

• 像空间 $\text{Im } T$ 是$W$的子空间，由 ${T(\alpha_1), T(\alpha_2), ..., T(\alpha_n)}$ 张成（因为$V$中任意向量$v = \sum_{j=1}^n k_j\alpha_j$，$T(v) = \sum_{j=1}^n k_j T(\alpha_j)$，所有像都能由这组向量线性组合得到）
• 记$A$的第$j$列坐标向量为 $\mathbf{a}j = (a{1j}, a_{2j}, ..., a_{mj})^T$，它就是$T(\alpha_j)$在基$\beta$下的坐标
• 由于坐标映射是线性同构（把$W$中的向量对应到$\mathbb{F}^m$中的坐标向量，完全保持线性相关性/无关性），所以向量组 ${T(\alpha_1), ..., T(\alpha_n)}$ 的秩，等于坐标向量组 ${\mathbf{a}_1, ..., \mathbf{a}_n}$ 的秩
• 而矩阵$A$的秩，正是其列向量组的秩，因此：
  $$\dim \text{Im } T = \text{秩}({T(\alpha_j)}) = \text{rank}(A)$$

第二部分：$\dim \ker T = \text{nullity}(A)$（矩阵的零度即$n - \text{rank}(A)$） #

再看核空间（所有被$T$映射到零向量的$V$中元素）：

• $\ker T = {v \in V \mid T(v) = 0_W}$，设$v$在基$\alpha$下的坐标为 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)^T$，即 $v = \sum_{j=1}^n x_j\alpha_j$
• 计算$T(v)$：
  $$T(v) = \sum_{j=1}^n x_j T(\alpha_j) = \sum_{j=1}^n x_j \sum_{i=1}^m a_{ij}\beta_i = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\right)\beta_i$$
• 因为$\beta$是$W$的基，$T(v)=0_W$当且仅当所有$\beta_i$的系数为0，也就是：
  $$\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j = 0 \quad (i=1,2,...,m)$$
  这等价于齐次线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$
• 定义映射$\varphi: \ker T \to \mathbb{F}^n$，$\varphi(v) = \mathbf{x}$（$v$在$\alpha$下的坐标），这是一个线性同构（坐标映射本身是同构，限制在$\ker T$上就对应到方程组的解空间$N(A)$）
• 而齐次方程组解空间的维数就是矩阵的零度：$\dim N(A) = n - \text{rank}(A)$，因此：
  $$\dim \ker T = \dim N(A) = \text{nullity}(A)$$

用维数公式验证 #

现在咱们再用你提到的维数公式$\dim V = \dim \text{Im } T + \dim \ker T$来验证：
左边$\dim V = n$，右边$\text{rank}(A) + (n - \text{rank}(A)) = n$，刚好相等，也反过来印证了我们的结论是对的～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者wavilson ferreira