定义在$[a,b]\rightarrow[c,d]$的连续单射严格单调函数是否必可微？

嘿，这个问题的答案是不一定——满足严格单调、单射、连续（且逆函数连续）的函数，完全可能存在不可微的点，甚至有不可数多个不可微点的情况，下面用具体例子和原理给你掰扯清楚：

简单直观的不可微例子 #

我们可以构造一个非常容易理解的严格递增连续函数，在某一点明确不可微：
定义$f: [0,2] \to [0,3]$如下：

• 当$x \in [0,1]$时，$f(x) = x$
• 当$x \in [1,2]$时，$f(x) = 2x - 1$

咱们来验证它满足所有前提条件：

• 连续：在$x=1$处，左极限是1，右极限也是$2*1-1=1$，和$f(1)$相等，整个函数在[0,2]上连续
• 严格单调单射：函数值从左到右一路严格上升，每个函数值都对应唯一的x，完全符合单射要求
• 逆函数连续：因为它是严格单调的连续满射（把[0,2]映射到[0,3]），根据逆函数连续性定理，它的逆函数必然连续

但在$x=1$处，它的左导数是1，右导数是2，左右导数不相等，所以这个点上函数不可微。

更极端的情况：不可数多个不可微点 #

如果想找更“夸张”的例子，可以看看康托函数的变形：
令$C(x)$是定义在[0,1]上的康托函数（这是个经典的单调递增连续函数，在康托集之外导数为0，但在康托集的点上导数不存在），我们定义$f(x) = x + C(x)$。

这个函数：

• 严格递增连续：$x$本身严格递增，$C(x)$非递减，加起来后自然严格递增；两个连续函数相加，结果肯定也是连续的
• 单射且满射：严格递增的函数天生就是单射，值域是$[0,1] + [0,1] = [0,2]$，所以是从[0,1]到[0,2]的满射
• 逆函数连续：同样满足逆函数连续的条件，没毛病

但这个$f(x)$在康托集的所有点上都不可微——康托集是个不可数集，也就是说这个函数有不可数多个点不可微，但它依然完全符合题目里的所有前提。

背后的数学原理 #

其实这里涉及到勒贝格的单调函数微分定理：任何单调函数在定义域上几乎处处可微。这里的“几乎处处”是指，除了一个测度为0的集合之外，函数都可微。但“几乎处处”不等于“处处”，所以严格单调连续函数完全可以存在不可微的点，哪怕是不可数多个，只要这些点构成的集合测度为0就行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SKumar