求满足实特征值、行列式与迹条件的不可对角化3×3复矩阵A

首先，我们明确核心要求：

• 3×3复矩阵（实矩阵属于复矩阵的子集，因此可以构造实矩阵满足所有条件）
• 所有特征值为严格实数
• $\det(A)=2$，$\text{Tr}(A)=1$
• 不可对角化：即存在特征值的几何重数 < 代数重数，最简单的实现方式是包含一个二阶Jordan块（对应二重特征值，几何重数为1，代数重数为2），搭配一个单特征值。

步骤1：确定特征值的约束关系 #

设二重特征值为$\lambda$（代数重数2），单特征值为$\mu$（代数重数1），根据迹和行列式的性质：

• 迹：$\text{Tr}(A) = \lambda + \lambda + \mu = 2\lambda + \mu = 1$
• 行列式：$\det(A) = \lambda \cdot \lambda \cdot \mu = \lambda^2\mu = 2$

将$\mu = 1 - 2\lambda$代入行列式方程，得到：

λ²(1 - 2λ) = 2

整理为三次方程：

2λ³ - λ² + 2 = 0

根据三次函数的连续性（当$\lambda \to -\infty$时，函数值$\to -\infty$；$\lambda \to +\infty$时，函数值$\to +\infty$），这个方程必然存在至少一个实根，记这个实根为$\lambda_0$，对应的$\mu_0 = 1 - 2\lambda_0$，这样$\lambda_0$和$\mu_0$都是严格实数，满足迹和行列式的要求。

步骤2：构造不可对角化矩阵 #

基于上述特征值，构造包含二阶Jordan块的矩阵（Jordan标准形）：

A = [
    [λ₀, 1, 0],
    [0, λ₀, 0],
    [0, 0, μ₀]
]

验证条件： #

1. 不可对角化：特征值$\lambda_0$的几何重数是1（方程$(A - \lambda_0I)x = 0$的解空间只有一维），而代数重数是2，几何重数 < 代数重数，因此矩阵不可对角化。
2. 特征值均为实数：$\lambda_0$和$\mu_0$都是实数，所有特征值严格实数。
3. 迹与行列式：直接计算得$\text{Tr}(A) = 2\lambda_0 + \mu_0 = 1$，$\det(A) = \lambda_0^2\mu_0 = 2$，完全符合要求。

具体数值例子 #

通过数值方法求解三次方程$2\lambda³ - \lambda² + 2 = 0$，得到实根约为$\lambda_0 \approx -0.8393$，对应的$\mu_0 \approx 1 - 2\times(-0.8393) = 2.6786$，代入得到具体矩阵：

A ≈ [
    [-0.8393, 1,      0     ],
    [0,      -0.8393, 0     ],
    [0,       0,      2.6786]
]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cpotts