求Mazur定理在弱*拓扑下的简单反例：Banach空间凸集闭包差异

先帮你理清楚背景：Mazur定理告诉我们，在Banach空间里，任何凸集的范数闭包和弱闭包是完全一致的。但这个结论没法直接套用到弱*拓扑上——凸集的范数闭包和弱*闭包确实可能差得很远，下面给个非常直观的经典反例：

我们取对偶空间$l^{\infty$（它是$l}1$的对偶，装备$\sigma(l^\infty, l^1)$弱*拓扑），考虑其中的凸集：

C = { x = (xₙ)ₙ=1^∞ ∈ l^∞ | 存在正整数 N，当 n>N 时，xₙ=0 }

简单说，$C$就是所有有限支撑序列构成的集合，显然它是凸集（两个有限支撑序列的线性组合还是有限支撑的）。

现在看两种闭包的区别：

• 范数闭包：$C$在$l^\infty$的范数拓扑下的闭包是$c_0$（所有收敛到0的序列构成的空间）。因为任何$c_0$中的序列都可以被有限支撑序列用范数逼近——比如取原序列的前N项截断，当N足够大时，后面的项的绝对值都小于$\epsilon$，截断后的序列和原序列的范数差就小于$\epsilon$。
• 弱*闭包：$C$在弱拓扑下的闭包是整个$l^\infty$！这一点可以用弱收敛的定义直接验证：任取$x=(xₙ)\in l^\infty$，对于任意$f=(fₙ)\in l^{1$（满足$\sum_{n=1}}∞ |fₙ| < ∞$），以及任意$\epsilon>0$，我们总能找到足够大的$N$，使得$\sum_{n=N+1}^∞ |fₙ| < \epsilon$。取$x_N$为$x$的前N项截断（后面全为0），显然$x_N\in C$，而：
  $$|f(x_N - x)| = \left| \sum_{n=N+1}^∞ fₙ xₙ \right| \leq |x|∞ \sum{n=N+1}^∞ |fₙ| < |x|_∞ \epsilon$$
  这就说明$x_N$弱收敛到$x$，也就是说$x$属于$C$的弱闭包。既然$l^{\infty$中任意元素都在$C$的弱*闭包里，那弱*闭包就是整个$l}\infty$。

显然，$c_0$是$l^\infty$的真子空间，所以这个凸集$C$的范数闭包和弱闭包完全不同，完美构成了Mazur定理在弱拓扑下不成立的反例。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user178826