如何判断给定的线性变换是否为同构映射？

首先明确核心判定规则：有限维线性空间之间的线性变换是同构，当且仅当两个空间维度相等，且变换是双射（等价于单射/核为零空间，或满射/像空间等于目标空间）。下面逐个分析你的三个变换：

1. $T: \mathbb{R}^3 \to P_{3}$，$T([a\ b\ c]) = at + bt^2 + ct^3$ #

你的直觉有误，这个变换不是同构，原因如下：

• 维度不匹配：$\dim(\mathbb{R}^3)=3$，而$P_3$是所有次数≤3的实系数多项式空间，它的基是${1, t, t^2, t^3}$，因此$\dim(P_3)=4$。有限维空间同构的必要条件是维度相等，这里3≠4，直接排除同构可能。
• 从映射性质看：该变换的像空间是$P_3$中不含常数项的多项式构成的3维子空间（基为${t, t^2, t^3}$），无法覆盖整个$P_3$（比如常数多项式$1$不在像空间中），因此不是满射，自然不是双射。

2. $T: \mathbb{R}^4 \to P_{2}$，$T([a\ b\ 0\ c]) = at + bt^2 + ct^3$ #

这个变换也不是同构，而且定义本身存在小问题：

• 维度不匹配：$\dim(\mathbb{R}^4)=4$，$P_2$是次数≤2的多项式空间，基为${1, t, t^2}$，$\dim(P_2)=3$，维度不等，不符合同构的必要条件。
• 额外问题：变换的输出$at + bt^2 + ct^3$包含$t3$项，属于$P_3$而非$P_2$，说明这个映射其实没有定义在$\mathbb{R}^4 \to P_2$上（输出不在目标空间）。就算修正目标空间为$P_3$（此时维度4=4），该变换的核（满足$at + bt^2 + ct^3=0$的输入向量）是所有形如$[0, 0, d, 0]$的向量（$d\in\mathbb{R}$），核非零，说明不是单射，仍然不是同构。

3. $T: \mathbb{C} \to \mathbb{R}^2$，$T(a + b\text{i}) = [a+b, a+b]$ #

这个变换不是同构，分析如下：

• 维度匹配：$\mathbb{C}$作为实线性空间，基为${1, \text{i}}$，$\dim(\mathbb{C})=2$，$\dim(\mathbb{R}^2)=2$，满足维度相等的必要条件。
• 但不是单射：计算核$\text{Ker}(T)$，即满足$T(a+b\text{i})=[0,0]$的复数：
  $$a+b=0 \implies b=-a$$
  因此$\text{Ker}(T)={a(1-\text{i}) \mid a\in\mathbb{R}}$，这是一个非零的1维子空间。线性变换是单射的充要条件是核为零空间，这里核非零，说明T不是单射，自然不是双射，也就不是同构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JobHunter69