验证ℝ₂[t]空间的多项式基并计算指定多项式的坐标
没问题，我来一步步帮你解决这个线性代数问题：
一、证明$p_1(t)=1-t$、$p_2(t)=1-t^2$、$p_3(t)=t$构成ℝ₂[t]的基
首先明确，ℝ₂[t]是所有次数不超过2的实系数一元多项式构成的线性空间，它的标准基是${1, t, t^2}$，维度为3。对于有限维线性空间来说，如果一组向量的个数等于空间维度，那么只要证明这组向量线性无关，就能确定它们是空间的一组基。
我们用线性无关的定义来证明：假设存在实数$a, b, c$，使得
$$a p_1(t) + b p_2(t) + c p_3(t) = 0$$
把多项式代入展开并整理同类项：
$$a(1-t) + b(1-t^2) + c(t) = (a + b) + (-a + c)t + (-b)t^2 = 0$$
零多项式的所有系数都必须为0，因此得到方程组：
- $a + b = 0$
- $-a + c = 0$
- $-b = 0$
解这个方程组：从第三个方程直接得到$b=0$，代入第一个方程得$a=0$，再代入第二个方程得$c=0$。只有零解，说明这三个多项式线性无关。又因为它们的个数等于ℝ₂[t]的维度3，所以它们确实构成ℝ₂[t]的一组基。
二、计算$q_1(t)=2-5t+t2$和$q_2(t)=3-6t+t2$在该基下的坐标
多项式在某组基下的坐标，就是找到一组系数，使得该多项式可以表示为基向量的线性组合。我们分别对$q_1$和$q_2$进行计算：
1. $q_1(t)=2-5t+t^2$的坐标
设$q_1(t) = x_1 p_1(t) + x_2 p_2(t) + x_3 p_3(t)$，代入多项式表达式：
$$2 -5t + t^2 = x_1(1-t) + x_2(1-t^2) + x_3(t)$$
展开右边并整理：
$$(x_1 + x_2) + (-x_1 + x_3)t + (-x_2)t^2$$
对比两边同类项的系数，得到方程组：
- 常数项：$x_1 + x_2 = 2$
- $t$项：$-x_1 + x_3 = -5$
- $t^2$项：$-x_2 = 1$
解这个方程组：
- 由第三个方程得$x_2 = -1$
- 代入第一个方程：$x_1 + (-1) = 2 ⇒ x_1 = 3$
- 代入第二个方程：$-3 + x_3 = -5 ⇒ x_3 = -2$
所以$q_1$在该基下的坐标为$\boldsymbol{(3, -1, -2)}$（或者写成列向量形式$\begin{pmatrix} 3 \ -1 \ -2 \end{pmatrix}$）。
2. $q_2(t)=3-6t+t^2$的坐标
同样设$q_2(t) = y_1 p_1(t) + y_2 p_2(t) + y_3 p_3(t)$，代入展开：
$$3 -6t + t^2 = y_1(1-t) + y_2(1-t^2) + y_3(t)$$
整理右边得：
$$(y_1 + y_2) + (-y_1 + y_3)t + (-y_2)t^2$$
对比系数得到方程组：
- 常数项：$y_1 + y_2 = 3$
- $t$项：$-y_1 + y_3 = -6$
- $t^2$项：$-y_2 = 1$
解方程组：
- 第三个方程得$y_2 = -1$
- 代入第一个方程：$y_1 + (-1) = 3 ⇒ y_1 = 4$
- 代入第二个方程：$-4 + y_3 = -6 ⇒ y_3 = -2$
所以$q_2$在该基下的坐标为$\boldsymbol{(4, -1, -2)}$（或者列向量形式$\begin{pmatrix} 4 \ -1 \ -2 \end{pmatrix}$）。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Diogo Freitas
