求关于端点A、B连线对称的二次及三次贝塞尔曲线方程

嘿，这问题我熟！咱们一步步来拆解，先从基础的贝塞尔曲线方程说起，再推导关于端点A、B连线对称的反射版本，不管是二次还是三次的都给你理清楚。

原始二次贝塞尔曲线方程 #

先明确基础定义：设端点A的坐标为 $(x_A, y_A)$，端点B为 $(x_B, y_B)$，二次贝塞尔的控制点为C $(x_C, y_C)$，参数 $t \in [0,1]$，那么原始曲线的参数方程是：

B₂(t) = (1-t)²·A + 2t(1-t)·C + t²·B

展开成坐标形式就是：

x(t) = (1-t)²x_A + 2t(1-t)x_C + t²x_B
y(t) = (1-t)²y_A + 2t(1-t)y_C + t²y_B

关于AB连线对称的反射二次贝塞尔曲线 #

要得到关于AB连线对称的反射曲线，核心是找到控制点C关于直线AB的对称点C' $(x_{C'}, y_{C'})$，然后用A、C'、B作为新的控制点生成贝塞尔曲线。

对称点C'的计算方法 #

对于直线AB上的任意点，对称点就是自身；对于点C，我们可以通过几何变换计算C'：

1. 先计算向量 $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$，向量 $\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A)$
2. 计算 $\overrightarrow{AC}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 上的投影长度：$proj = \frac{\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|²}·\overrightarrow{AB}$
3. 对称点C'的坐标满足：$\overrightarrow{AC'} = 2proj - \overrightarrow{AC}$，展开后得到：

x_{C'} = x_A + 2·[(x_C - x_A)(x_B - x_A) + (y_C - y_A)(y_B - y_A)]·(x_B - x_A) / |AB|² - (x_C - x_A)
y_{C'} = y_A + 2·[(x_C - x_A)(x_B - x_A) + (y_C - y_A)(y_B - y_A)]·(y_B - y_A) / |AB|² - (y_C - y_A)

其中 $|AB|² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²$

反射后的二次贝塞尔曲线方程 #

把C替换成C'代入原始方程，就得到反射曲线的参数方程：

B₂'(t) = (1-t)²·A + 2t(1-t)·C' + t²·B

展开坐标形式的话，直接把$x_C$、$y_C$换成$x_{C'}$、$y_{C'}$即可。

原始三次贝塞尔曲线方程 #

三次贝塞尔曲线有两个控制点C₁ $(x_{C1}, y_{C1})$ 和C₂ $(x_{C2}, y_{C2})$，原始参数方程为：

B₃(t) = (1-t)³·A + 3t(1-t)²·C₁ + 3t²(1-t)·C₂ + t³·B

坐标展开形式：

x(t) = (1-t)³x_A + 3t(1-t)²x_{C1} + 3t²(1-t)x_{C2} + t³x_B
y(t) = (1-t)³y_A + 3t(1-t)²y_{C1} + 3t²(1-t)y_{C2} + t³y_B

关于AB连线对称的反射三次贝塞尔曲线 #

和二次的思路一致，我们需要分别求出C₁、C₂关于直线AB的对称点C₁'、C₂'（计算方法和上面的C'完全相同），然后将这两个对称点作为新的控制点代入原始方程，得到反射曲线：

B₃'(t) = (1-t)³·A + 3t(1-t)²·C₁' + 3t²(1-t)·C₂' + t³·B

同样，坐标形式就是把对应的控制点坐标替换成对称点的坐标即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Containment