用数学归纳法证明$1+2^{2^n}+2^{2^{n+1}}$可被7整除的求助

DevOps 小满

2026-5-19

数学归纳法证明 $1+2^{2n}+2^{2{n+1}}$ 可被7整除

你已经完成了最关键的前两步：验证n=0成立，以及做出n时的归纳假设，卡在n+1的推导太正常了，咱们一步步拆解这个难题。

首先明确目标：假设当n=k时，$1+2^{2k}+2^{2{k+1}} \equiv 0 \pmod{7}$（即该式可被7整除），需要证明n=k+1时，$1+2^{2{k+1}}+2^{2{k+2}} \equiv 0 \pmod{7}$。

步骤1：改写n=k+1的式子，关联归纳假设

我们把n=k+1的式子做变形，引入已经假设成立的部分：
$$
\begin{align*}
1+2^{2{k+1}}+2^{2{k+2}} &= \left(1+2^{2k}+2^{2{k+1}}\right) - 2^{2k} + 2^{2{k+2}}
\end{align*}
$$
根据归纳假设，$\left(1+2^{2k}+2^{2{k+1}}\right)$是7的倍数，所以现在只需要证明 $-2^{2k} + 2^{2{k+2}}$ 也能被7整除，也就是证明 $2^{2{k+2}} - 2^{2k} \equiv 0 \pmod{7}$——这正是你卡住的部分，咱们来解决它。

步骤2：拆解指数，利用模运算规律

对这个差值的指数做因式分解：

首先，$2^{k+2} = 2^k \times 4$，所以 $2^{2{k+2}} = 2^{4 \times 2^k} = \left(2^{2k}\right)^4$
因此，$2^{2{k+2}} - 2^{2k} = 2^{2k} \times \left( \left(2^{2k}\right)^3 - 1 \right)$

再看括号里的部分：$\left(2^{2k}\right)^3 = 2^{3 \times 2^k} = \left(2^3\right){2^k} = 8^{2k}$。因为 $8 \equiv 1 \pmod{7}$，所以 $8^{2k} \equiv 1^{2k} = 1 \pmod{7}$，代入后：
$$\left(2^{2k}\right)^3 - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{7}$$

这说明 $\left( \left(2^{2k}\right)^3 - 1 \right)$ 是7的倍数，而 $2^{2k}$ 和7互质（2和7没有公因数），所以整个 $2^{2k} \times \left( \left(2^{2k}\right)^3 - 1 \right)$ 必然是7的倍数。